Aby w pełni zrozumieć kwantowy świat, będziemy prawdopodobnie potrzebowali nowego rodzaju matematyki.

Matematyka jest bardziej podatna na bodźce środowiskowe, niż się nam zdaje. Owszem, szuka wiecznych prawd, ale wiele koncepcji matematycznych wywodzi się z codziennego doświadczenia. Astrologia i architektura natchnęły Egipcjan i Babilończyków do stworzenia geometrii. Badania nad mechaniką podczas rewolucji naukowej w XVII stuleciu dały nam rachunek różniczkowy.

Co istotne, koncepcje wywodzące się z teorii kwantowej także okazały się mieć ogromny potencjał matematyczny, choć cząstki elementarne raczej nie zaprzątają na co dzień naszej uwagi. Dziwaczny świat kwantowy, w którym obiekty zdają się przebywać w dwóch różnych miejscach w tym samym czasie i podlegają prawom o charakterze probabilistycznym nie tylko pozwolił na stworzenie dogłębniejszego opisu natury, lecz także dał matematykom ogromne pole do popisu. Kiedy struktura logiczna teorii kwantowej zostanie wreszcie w pełni zrozumiana i przyswojona, stanie się to zapewne inspiracją dla nowej, „kwantowej” matematyki.

Matematyka i fizyka są ze sobą rzecz jasna od dawna ściśle związane. Starczy przywołać słynne słowa Galileusza, że natura jest księgą, którą musimy odszyfrować. „Filozofia jest w niej zapisana, we Wszechświecie, co go mamy przed oczyma. Niepodobna jednak nic odczytać, póki nie poznamy języka i alfabetu. A są to język i alfabet matematyki”. Można też powołać się na autorytet z naszej epoki, czyli na Richarda Feynmana, choć skądinąd nie pałał on miłością do matematycznych abstrakcji: „Trudno przekazać tym, którzy nie znają matematyki, prawdziwe poczucie piękna, głębokiego piękna natury. […] Jeśli ktoś chce zrozumieć i nauczyć się cenić piękno natury, musi opanować język, którym ona przemawia”[1]. (Przy innej okazji Feynman oznajmił jednak: „Gdyby matematyka nagle zniknęła, fizyka cofnęłaby się tylko o tydzień”, na co pewien matematyk odpowiedział: „Owszem – o tydzień, w którym Bóg stworzył Wszechświat”).

Fizyk i matematyk, laureat nagrody Nobla Eugene Wigner podkreślał, jak zdumiewająco dobrze matematyka pozwala opisywać rzeczywistość. Nazywał to „przekraczającą pojęcie użytecznością matematyki w nauce”. Niektóre matematyczne koncepcje powracają w najróżniejszych kontekstach. Dziś jednak obserwujemy coś wręcz przeciwnego: przekraczającą pojęcie użyteczność teorii kwantowej w matematyce. Idee rozwijane przez badaczy cząstek elementarnych przebijają się do rozmaitych dziedzin matematyki. Szczególnie dotyczy to teorii strun: odciśnie ona ogromne piętno w matematyce, bez względu na to, jak ostatecznie zapisze się w annałach fizyki. Analiza matematyczna, geometria, algebra, topologia, teoria reprezentacji, kombinatoryka, teoria prawdopodobieństwa – listę wzbogaconych dziedzin można długo ciągnąć. Aż żal nieszczęsnych studentów, którzy będą się musieli tego wszystkiego nauczyć.

Skąd przyczyna użyteczności teorii kwantowej? Moim zdaniem stąd, że w świecie kwantowym wszystko, co może się wydarzyć, faktycznie się wydarza.

Upraszczając, klasyczna mechanika służy obliczeniu, jak cząstka podróżuje z punktu A do punktu B. Najlepsza droga może biec chociażby po linii geodezyjnej, czyli po najkrótszej krzywej w przestrzeni metrycznej między dwoma punktami dostatecznie bliskimi. Natomiast w mechanice kwantowej trzeba rozważyć wszystkie możliwe ścieżki między A i B, nawet te najdłuższe i najbardziej splątane. O tym właśnie mówi słynna interpretacja Feynmana „sumy po historiach”. Prawa fizyki przypiszą każdej ścieżce określoną wagę, która zdeterminuje prawdopodobieństwo, że cząstka ową ścieżkę wybierze. Klasyczny wybór zgodny z dynamiką Newtona to po prostu najbardziej prawdopodobna z opcji. Fizyka kwantowa rozważa zatem zbiór wszystkich możliwości i pozwala je wszystkie zsumować.

Owo całościowe podejście przystaje do ducha współczesnej matematyki, gdzie bada się „kategorie” obiektów i gdzie kładzie się nacisk na ich wzajemne relacje, a nie na poszczególne przykłady. I dlatego właśnie teoria kwantowa, zmuszająca do patrzenia „z lotu ptaka”, ukazuje naukowcom nowe, niespodziewane powiązania.

Kwantowe kalkulatory

Wyśmienitym przykładem magicznej mocy, jaką ma teoria kwantowa, jest symetria lustrzana – niezwykła ekwiwalencja przestrzeni, która zrewolucjonizowała geometrię. Zaczęło się od geometrii enumeratywnej. Jest to niezbyt ekscytująca gałąź geometrii algebraicznej, zajmująca się liczeniem obiektów. Naukowcy, którzy się tym zajmują, mogą na przykład określić, ile krzywych mają przestrzenie należące do szczególnej klasy kształtów geometrycznych, czyli kształty Calabiego-Yau, stanowiące sześciowymiarowe rozwiązanie równań Einsteina. W teorii strun przywiązuje się do owych kształtów dużą wagę, gdyż pozwalają wyjaśnić, jak wyglądają dodatkowe zwinięte wymiary.

Krzywe przestrzeni Calabiego-Yau są opisywane za pomocą liczb całkowitych. Wyznacza się stopień, czyli miarę tego, jak często krzywe się zawijają. Ustalenie liczby krzywych danego stopnia to niezwykle skomplikowany problem, nawet w wypadku najprostszej przestrzeni Calabiego-Yau. Klasyczna metoda, sięgająca XIX w., pozwala stwierdzić, że liczba krzywych pierwszego stopnia wynosi tu 2875. Liczbę krzywych drugiego stopnia poznano dopiero w roku 1980 – okazało się, że jest ich 609 250. By określić liczbę krzywych trzeciego stopnia, potrzebna była teoria strun.

Około 1990 r. grupa fizyków zajmujących się ową teorią poprosiła geometrów o ustalenie tej liczby. Geometrzy stworzyli skomplikowany program komputerowy i dostarczyli odpowiedzi. Fizycy podejrzewali jednak, że obliczenia nie są prawidłowe – zapewne w kodzie pojawił się błąd. Faktycznie, po uważnej analizie został on wykryty. Ale jak fizycy się tego domyślili?

Otóż badacze teorii strun od pewnego czasu starali się przekształcić problem geometryczny w problem fizyczny, aż wreszcie opracowali sposób obliczania liczby krzywych dowolnego stopnia. Na wieść o tym matematycy przeżyli nie lada wstrząs. Mówiono, że to jak znaleźć sposób wejścia na każdą górę, bez względu na jej wysokość.

Na gruncie teorii kwantowej da się opisać liczbę krzywych wszystkich stopni za pomocą jednej, skądinąd bardzo eleganckiej funkcji. Gdy je w ten sposób zebrać, otrzymuje się prostą fizyczną interpretację. Można przedstawić ją jako amplitudę prawdopodobieństw dla propagacji struny w przestrzeni Calabiego-Yau. Stosuje się tu zasadę „sumy po historiach”. Struna wysonduje wszystkie możliwe krzywe wszystkich możliwych stopni w tym samym czasie. Jest zatem wyjątkowo użytecznym „kwantowym kalkulatorem”.

By jednak znaleźć konkretne rozwiązanie, potrzebny był drugi element, tzw. lustrzana przestrzeń Calabiego-Yau. Słowo „lustrzana” jest zwodniczo proste. Inaczej niż w przypadku odbicia w zwyczajnym lustrze pierwotny kształt i jego lustrzany odpowiednik przybierają zupełnie odmienne kształty. Nie mają nawet tej samej topologii. Natomiast z punktu widzenia teorii kwantowej dzielą wiele wspólnych cech. W obu przestrzeniach propagacja struny jest niemal identyczna. Zamiast trudnych obliczeń geometrycznych wystarczy o wiele prostsza ekspresja lustrzanej przestrzeni – et voilà!

Dualizm komplementarnych koncepcji

Symetria lustrzana to ilustracja ważnej cechy teorii kwantowej zwanej dualizmem: otóż dwa klasyczne modele mogą stać się ekwiwalentne, gdy potraktować je jako kwantowe systemy. Ot, ktoś machnął czarodziejską różdżką i naraz wszystkie różnice zniknęły. Dualizmy są dowodem głębokich choć często tajemniczych symetrii leżących u podstaw teorii kwantowej. Niewiele na ich temat wiadomo, co świadczy, że dużo zostało jeszcze do odkrycia.

Pierwszym i najsłynniejszym przykładem takiej ekwiwalencji jest dobrze znany dualizm korpuskularno-falowy. Oznacza on, że każda cząstka – chociażby elektron – może być traktowana zarówno jako cząstka, jak i fala. To, który z owych punktów widzenia jest „poprawny”, zależy tylko i wyłącznie od charakteru pytania czy problemu, a nie od samego elektronu. Na podobnej zasadzie dwóm stronom symetrii lustrzanej zawdzięczamy dwa równoważne sposoby myślenia o „geometrii kwantowej”.

Matematyka ma niezwykłą zdolność łączenia różnych światów. Najbardziej niedocenianym znakiem w każdym równaniu jest skromny znak równości. A przecież płyną przez niego idee, jak gdyby znak równości przewodził prąd, zdolny zapalić światło w naszych umysłach. Podwójna kreska sugeruje przy tym, że ów przepływ może zachodzić w dwóch kierunkach. Albert Einstein był absolutnym mistrzem znajdowania równań ilustrujących tę cechę. Weźmy choćby słynne E = mc2. Z cichą elegancją łączy ono masę z energią, choć przed powstaniem teorii względności uważano je za zupełnie niepowiązane ze sobą pojęcia. Dzięki równaniu Einsteina dowiadujemy się, że masę można przekształcić na energię i vice versa. Równanie ogólnej teorii względności, mniej znane i mniej wpadające w oko, łączy geometrię i materię w równie zaskakujący i równie piękny sposób. Najprościej rzecz ujmując, wyjaśnia ono, że masa mówi przestrzeni, w jaki sposób ta ma się zakrzywiać, przestrzeń zaś mówi masie, jak powinna się poruszać.

Symetria lustrzana to inny znakomity przykład potęgi znaku równości. Potrafi połączyć dwa odmienne matematyczne światy. Pierwszym jest geometria symplektyczna, dział matematyki niezwykle istotny dla mechaniki. Drugi świat to geometria algebraiczna, gdzie rządzą złożone liczby. Fizyka kwantowa pozwala ideom przepływać swobodnie z jednej dziedziny do drugiej i pozwala je w niespodziewany sposób uspójnić.

Matematyka zdołała przyjąć wiele intuicyjnych, czasem nie dość precyzyjnych idei powstałych na gruncie fizyki kwantowej i teorii strun, a następnie przekształcić je w ścisłe twierdzenia i dowody. Obecnie matematycy są blisko zrobienia tego samego z homologiczną symetrią lustrzaną. W pewnym sensie powstaje wyczerpujący leksykon obiektów, które pojawiają się w dwóch osobnych światach matematycznych, przy czym leksykon ten obejmuje także wszystkie relacje między nimi. Co godne uwagi dowody często wyglądają inaczej, niż pierwotnie spodziewali się fizycy. Matematycy ewidentnie nie zamierzają po nich sprzątać. Przeciwnie, często zmuszają ich do przemyślenia pewnych rzeczy zupełnie od nowa. To kolejny dowód głębokiej, nieodkrytej jeszcze logiki, która przenika teorię kwantową i całą rzeczywistość.

Niels Bohr bardzo lubił ideę komplementarności. Powstała ona stąd, że – jak wykazał Werner Heisenberg, formułując zasadę nieoznaczoności – w mechanice kwantowej można mierzyć albo pęd cząstki (p), albo jej położenie (q), ale nie da się ich zmierzyć równocześnie. Wolfgang Pauli zabawnie podsumował to w liście do Heisenberga z 19 października 1926 r., zaledwie kilka tygodni po tym odkryciu: „Można oglądać świat albo okiem p, albo okiem q, ale jeśli otworzy się oba naraz, człowiek odejdzie od zmysłów”.

Pod koniec życia Bohr próbował zbudować na tej podstawie ogólniejszą filozofię. Jedną z jego ulubionych uzupełniających się par była prawda i prostota. Może obecnie należałoby dodać nowy przykład: matematyczny rygor i intuicję fizyków. Jedno i drugie najwyraźniej się wyklucza. Możesz patrzeć na świat okiem matematyka albo okiem fizyka, ale za żadne skarby nie otwieraj ich obu naraz.

[1] Richard P. Feynman, Charakter praw fizycznych, przeł. Piotr Amsterdamski, Prószyński i S-ka, Warszawa 2000, s. 63.

Artykuł przedrukowano za zgodą QuantaMagazine.org, redakcyjnie niezależnej publikacji Simons Foundation, której misją jest popularyzowanie wiedzy na temat rozwoju badań w dziedzinie matematyki i fizyki oraz nauk przyrodniczych.