Nieskończoność nieskończoności nierówna – przekonywał jeden odważny matematyk. I choć inni pukali się w czoło, on rozwijał swoją teorię, aż rozwinął ją tak, że bez niej trudno wyobrazić sobie dzisiejszą naukę.
Jest późno, zbliża się północ. Zmęczona długą wędrówką Alicja dostrzega podłużny parterowy budynek o nazwie Grand Hotel. Zaskoczona jego wielkością widzi sznur okien, który zdaje się nie mieć końca. Ku jej rozczarowaniu jednak przy wejściu widoczny jest napis: „Brak wolnych miejsc”. Dla pewności pyta recepcjonistę, który każe jej poczekać. Alicja spogląda w bezchmurne niebo. Otwiera się przed nią zapierający dech w piersiach widok milionów, jeśli nie miliardów gwiazd zawieszonych w nieskończonym bezkresie wszechświata. Ze środka dochodzi do niej gwar, ale szybko milknie. Na zewnątrz wychodzi roześmiany recepcjonista. „Mam dla panienki pokój – oznajmia. – Witam w hotelu Hilberta, największym na świecie”.
Tej sceny próżno szukać na kartach powieści Lewisa Carrolla, dostępnej w większości księgarni, choć bez wątpienia zawiera ją wersja przechowywana w bibliotece Babel. Carrolla, zajmującego się matematyką zawodowo, i Borgesa, którego Biblioteka Babel może być uważana za literacką próbę zmierzenia się z zagadką bezmiaru, intrygowały niezgłębione możliwości luster. Ten drugi pisał, że woli śnić, iż gładkie powierzchnie przedstawiają i obiecują nieskończoność. Alicja też woli śnić, niż zastanawiać się, jak to się stało, że w pełnym hotelu znalazł się dla niej pokój. Nie zdaje sobie sprawy, że uległa tego wieczoru kilku iluzjom naraz.
Nawet w bezchmurną noc gołym okiem można zobaczyć co najwyżej kilka tysięcy gwiazd, a wszechświat jest wprawdzie bezkresny, ale prawdopodobnie skończony. Co do samego hotelu: nie da się go zbudować po naszej stronie lustra, a stanowi on coś, co teoretycy różnej maści nazywają eksperymentem myślowym. Nie, to nie jest akrobacja językowa z Krainy Czarów. To wyobrażone doświadczenie, które pozwala unaocznić pewne subtelne problemy tkwiące w rozwijanych teoriach, a których z rozmaitych powodów nie da się wykryć w eksperymentach rzeczywistych.
W kapitalnej książce Einstein dla początkujących, wydanej w Polsce w latach 80. XX w. i traktującej (w formie komiksu!) o teorii względności, genialny fizyk zadaje sobie pytanie, czy jeśli leci rakietą z prędkością światła i patrzy w lustro, zobaczy w nim swoje odbicie? Jak widać, lustra to nie tylko domena literatów. Einstein nie mógł oczywiście przeprowadzić tego doświadczenia w praktyce, ale zdawał sobie sprawę, że jeśli jego nowa teoria ma być uporządkowana i spójna, to musi poradzić sobie z rozstrzyganiem podobnych kwestii.
Przewrócona ósemka
Hotel Hilberta jest ilustracją paradoksów, jakie wynikają z teorii opracowanej przez Georga Cantora pod koniec XIX w., która wstrząsnęła matematyką na tyle, na ile wstrząsy w tej dziedzinie w ogóle się zdarzają. Leopold Kronecker, jeden z najsławniejszych żyjących wówczas matematyków, nazwał Cantora renegatem i zarzucił mu psucie młodzieży, a filozof Ludwig Wittgenstein określił jego rewelacje jako kpinę. Grzech Cantora polegał na tym, że zabrał się on do badania bytu, który dotąd matematycy traktowali z ogromną podejrzliwością, a o którym tak lubił śnić Borges. Poszło o samą nieskończoność.
Wielka rzecz: nieskończoność! Słowo to – eksploatowane przez pisarzy i poetów, rzucane na wiatr przez kochanków – nie pobudza dziś wyobraźni tak jak jeszcze sto lat temu. Jesteśmy z nim oswajani od szkolnych lat, a na lekcjach matematyki w późniejszych klasach liceum przewróconą ósemkę spotyka się pewnie częściej niż stojącą na baczność. W dziecięcych licytacjach w rodzaju „kto potrafi wymienić większą liczbę” można iść o zakład, że prędzej czy później pojawi się nieskończoność, natychmiast przebita przez nieskończoność plus jeden.
Sprowadzona do banału, wyzuta z wyjątkowości dawno utraciła boskie atrybuty, które kojarzyły się z nią przez wieki. Przewracając ósemkę, licealiści nie przekraczają żadnego rubikonu. Symbol ten, tak beztrosko używany w szkole, stanowi jedynie formalny skrót dla wyrażenia, co się dzieje, gdy iks staje się dowolnie duże, ale zawsze skończone.
Niebezpieczne narzędzie
Zresztą czy nieskończoność jako taka w ogóle istnieje? Kto nie wierzy, niech stanie tyłem do łazienkowego lustra, trzymając w ręku drugie lustro, i otworzy oczy. Runie na niego kaskada powtórzeń: jego własne odbicie powielone bez końca. I tak oto śmiertelnik uzyskuje wgląd w fantasmagorię nieskończoności. Jeśli przeanalizujemy ten eksperyment, przekonamy się jednak, że – podobnie jak Alicja – padliśmy ofiarą iluzji i wcale nie wyściubiliśmy nosa z ciasnoty ludzkiej egzystencji.
Zakładając, że lustra ustawione są metr od siebie, a my wpatrujemy się w nie przez minutę, liczba powtórzeń będzie ogromna (około 10 mld), ale nie nieskończona. Żeby to zwierciadlane selfie mogło zaistnieć, światło musi pokonać odległość między twarzą a lustrem i drugim lustrem, a na to potrzeba czasu – fakt, który nie zdziwiłby Einsteina usiłującego ogolić się w rakiecie. W ciągu sekundy przebędzie ono tę drogę 300 mln razy. Dużo dla posiadacza łazienki w bloku, śmiesznie mało dla właściciela hotelu Hilberta.
Kiedy więc Cantor zaczął dłubać przy zbiorach nieskończonych, stosując narzędzia tradycyjnej logiki, spotkał się z rzadkim u znanych ze stoicyzmu matematyków protestem – żeby nie powiedzieć furią. Jedni zarzucali mu szarlatanerię, inni natomiast, że jego odkrycia są zupełnie bez znaczenia dla „normalnej matematyki”.
W istocie w niewłaściwych rękach nieskończoność staje się groźnym narzędziem. W serwisie YouTube jest krótki film, który pokazuje, jak suma 1 + 2 + 3 + itd. daje wynik: –1/12. Nagranie to spotkało się z krytyką środowiska matematycznego, jego autorzy błędnie bowiem manipulują nieskończonymi sumami, aby uzyskać sensacyjny wynik, który jest nieprawdziwy (bo dodając do siebie kolejne liczby naturalne, uzyskujemy wynik coraz większy, a już na pewno nie ujemny). To prawda, że ciąg sum kolejnych liczb naturalnych i ułamek –1/12 są ze sobą powiązane, lecz nie w taki sposób, jaki sugerują autorzy. Ponieważ podobne manipulacje zdarzały się kiedyś całkiem często, formalizm wprowadzony w XIX w. uporządkował matematykę, sprytnie omijając konieczność odwoływania się do nieskończoności. Tu pojawił się Cantor i wszystko zepsuł.
Ale Cantor nie był szarlatanem i jego badania z czasem stały się częścią jednej z najbardziej fundamentalnych teorii w matematyce – teorii zbiorów. Do jej entuzjastów zaliczał się m.in. David Hilbert, wielki niemiecki matematyk przełomu wieków, którego nazwisko nosi hipotetyczny hotel.
Jak więc Cantor zdołał okiełznać nieskończoność? Żeby móc mówić o wielkości zbioru, należy najpierw wybrać kryterium, według którego można będzie określić, kiedy dwa zbiory są równoliczne. Dla zbiorów skończonych to banalne – wtedy, gdy mają tę samą liczbę elementów. Matematyk wymyślił jednak kryterium, które można zastosować zarówno do zbiorów skończonych, jak i nieskończonych. I tak dwa zbiory są równoliczne, jeśli elementy pierwszego z nich można połączyć w pary z elementami drugiego. Jeżeli stadion ma 25 tys. miejsc, można je połączyć w pary z 25 tys. widzów, przypisując każdemu jedno miejsce. Ale gdy Cantor zastosował to pozornie niewinne kryterium do zbiorów nieskończonych, otworzyły się bramy piekieł.
Miejsce dla setek Alicji
Kiedy Alicja znalazła się przed hotelem, było w nim nieskończenie wiele pokoi ponumerowanych 1, 2, 3 itd. W każdym z nich spał jeden gość: pierwszy w pokoju numer 1, drugi w pokoju numer 2 itd. Zbiór gości był więc równoliczny ze zbiorem pokoi. Kiedy recepcjonista zgodził się ją zakwaterować, poprosił wszystkich, by przeprowadzili się do pokoju oznaczonego numerem o jeden wyższym niż ten, który dotąd zajmowali. Po wykonaniu tego manewru każdy z nich nadal spał sam, a dla Alicji zwolnił się pokój numer 1. Tak więc zbiór dotychczasowych gości plus nowo przybyła także jest równoliczny ze zbiorem pokoi. Albo inaczej: zbiór dotychczasowych gości bez Alicji i z nią jest równoliczny!
Wydaje się to absurdem, zwielokrotnionym przez nasuwający się wniosek, że nawet gdyby do pełnego hotelu przyjechało tysiąc Alicji, to dla nich wszystkich znalazłyby się miejsca, bo poproszono by każdego z lokatorów o przeprowadzkę do pokoju o numerze o tysiąc większym.
A jeśli do hotelu ustawiłaby się kolejka nieskończenie wielu Alicji? Opisana wyżej sztuczka nie zadziała, bo choćby każdy z gości przeprowadził się do pokoju o numerze o trylion większym, to i tak zwolni się tylko trylion łóżek. Nie możemy poprosić ich o przeniesienie się do pokoju o numerze nieskończoność, bo takiego pokoju w hotelu nie ma. Sytuacja wygląda z pozoru beznadziejnie, ale bynajmniej taka nie jest. Recepcjonista prosi każdego z gości o przeprowadzkę do pokoju o numerze dwukrotnie większym niż obecnie zajmowany, zwalniając w ten sposób wszystkie pomieszczenia o numerach nieparzystych. I tak Alicja, która jest pierwsza w kolejce, trafi pod jedynkę, druga pod trójkę, trzecia pod piątkę itd. Pełny hotel Hilberta jest więc w stanie zakwaterować nawet nieskończoną kolejkę nowych gości!
Paradoksy tej teorii są jednak złudne. Poczucie, że dodanie nowych elementów do istniejącego zbioru musi zmienić jego rozmiar, to nie fakt absolutny, lecz przyzwyczajenie wyniesione ze świata zbiorów skończonych. Recepcjonista w hotelu Hilberta wcale nie był zdumiony tym, że zbiór gości hotelowych, nawet powiększony o nieskończenie wiele Alicji, nie urósł. Ale wniosek ten niesie za sobą innego rodzaju niebezpieczeństwo. Skoro wszystkie nieskończoności są tak samo wielkie, to teoria nie prowadzi do niczego nowego. Po co więc nam ona?
Piętra gmachu matematyki
Poprowadźmy nasz eksperyment myślowy o jeszcze jeden krok dalej. Przekonany, że posiada hotel zdolny pomieścić każdą liczbę przyjezdnych, właściciel zamawia serię obrazów, na których malarz ma uwiecznić jego znamienitych gości. Nie będąc pewnym, jaka konfiguracja ostatecznie mu się spodoba, prosi malarza, aby namalował je wszystkie, tzn. wszelkie możliwe portrety indywidualne, portrety przedstawiające gości w parach itd., a także wszelkie możliwe kombinacje, np. obraz, na którym są tylko goście z pokojów o numerach parzystych albo wszyscy poza lokatorem pokoju 302. Kunszt obrazów przerasta jego oczekiwania i postanawia on powiesić je wszystkie – w każdym pokoju jeden z nich. I tu na przeszkodzie staje rzeczywistość. Po wielu daremnych próbach właściciel uświadamia sobie, że wcale nie ma największego hotelu w matematyce. Obrazy się nie mieszczą – pokojów jest za mało. Liczba arcydzieł, jaką namalował artysta, jest nieskończonością, ale (o zgrozo!) większą niż ta, w której posiadaniu znajdował się hotelarz.
W rzeczywistości hotel Hilberta jest mały – tyci – bo gdyby zbudować obiekt, w którym obrazy dałoby się powiesić, zapełnić go gośćmi i ponownie poprosić malarza o portrety we wszystkich możliwych konfiguracjach, prowadziłoby to do nieskończoności jeszcze większej. I tak bez końca. Każda z tych nieskończoności to zupełnie nowy poziom mnogości, nowe piętro w gmachu matematyki, niewyobrażalne dla mieszkańców piętra niższego.
Widok z sutereny
Cantor otworzył przed ludźmi zupełnie nowy świat zamieszkany przez nieskończoności o różnych rozmiarach, a może tylko uświadomił im, że w suterenie, w której przebywają, znajdują się inne piętra. Co ciekawe, współcześni matematycy z tejże sutereny, wyposażeni w tablicę i kredę, potrafią te piętra badać, wykradać ich sekrety i opisywać w niezwykle pojemnym języku matematyki, mimo że w rzeczywistości nawet z najmniejszą nieskończonością nigdy się nie zetknęli.
A cóż zrobić z zarzutem, że ten nowy świat pozostaje kompletnie nieprzydatny dla tradycyjnej matematyki? Już współcześni Cantorowi wiedzieli, że to nieprawda. Za pomocą jego teorii można było na przykład z zaskakującą łatwością wykazać istnienie tzw. liczb przestępnych, a problem ten spędzał sen z powiek klasycznym matematykom przez długie lata.
Dziś trudno sobie wyobrazić naukę bez odkryć Cantora. Współczesna teoria całki, która notabene także zajmuje się mierzeniem zbiorów nieskończonych z nieco innej perspektywy, a w której niemałą rolę odegrał wielki polski matematyk Stefan Banach, bez teorii Cantora byłaby dużo uboższa. A od całek już tylko krok do bardzo konkretnych dziedzin, takich jak fizyka, pozwalająca nam poznać sekrety gwiazd niewidocznych nawet w bezchmurną noc po naszej stronie lustra.
Samo odkrycie czy nawet praktyczne jego wykorzystanie nie oznacza jednak, że nieskończoności Cantora są dziś oswojone jak psy i koty. Raczej nie zastąpią osławionej ósemki w liceum, bo dla naszej wyobraźni stanowią nadal twardy orzech do zgryzienia. Borges w przedziwnym utworze zatytułowanym Alef trafił w sedno, pisząc: „Dochodzę w tej chwili do niewypowiadalnej części mojego opowiadania. Jakże przekazać innym nieskończoność Alefa, której moja własna trwożliwa wyobraźnia nie jest w stanie objąć? W podobnych sytuacjach mistycy nie szczędzą symboli”.
Również dla matematyków symbolika to czasem sposób na radzenie sobie z tym, czego nie ogarnia intuicja. Dobrze dobrana pozwala bowiem na uzyskanie nad nieznanym pewnej przewagi, ponieważ porządkuje myśli. Gdy tylko się urodziły, Cantor natychmiast nadał swoim nieskończonościom imiona. Do dzisiaj stosuje się jego notację złożoną z pewnej hebrajskiej litery i liczby. Borges, pisząc swoje opowiadanie, zapewne wiedział, że literą, którą wybrał Cantor, był alef.
Czytaj również:
