Oto spektakularne, misterne, zachwycające struktury, które trudno dostrzec, choć są wszechobecne.
Trudno je zdefiniować precyzyjnie, choć zazwyczaj charakteryzują się czterema cechami. Są to: nieskończona szczegółowość, samopodobieństwo, złożoność z prostoty oraz wymiary fraktalne. Wszystkie te właściwości wyjaśnimy poniżej.
Doskonałą ilustrację wspomnianych cech stanowi paproć. Wystarczy się jej dobrze przyjrzeć. Najpierw dostrzegamy nagromadzenie szczegółów. Co ciekawe, można zauważyć, że pod względem kształtu liście są miniaturowymi kopiami gałęzi. W istocie cała paproć to jeden kształt, powtarzający się w nieskończoność w coraz mniejszej skali. A najbardziej niesamowite jest to, że – jak pokazuje matematyka fraktalna – kształt tej skromnej paproci nie jest ani jedno-, ani dwuwymiarowy, ale sytuuje się gdzieś pomiędzy. Jaki jest zatem dokładnie kształt paproci?
Klasyczna geometria euklidesowa, której uczymy się w szkole, nie pozwala odpowiedzieć na to proste pytanie. Choć walce i prostokąty świetnie nadają się do projektowania wytworów techniki, w naturze znajdziemy niewiele tak regularnych kształtów.
Jak zatem opisać kształt paproci za pomocą precyzyjnej terminologii matematycznej? Jak zbudować matematyczny model tego cudownego obiektu? Z pomocą przychodzi dział matematyki zwany geometrią fraktalną.
Nieskończona szczegółowość
Wiele wzorców, które odnajdujemy w przyrodzie, jest tak nieregularnych i fragmentarycznych, że w porównaniu z Euklidesem – za pomocą tego terminu odnoszę się tutaj do standardowej geometrii – przyroda przejawia nie tylko wyższy, ale przede wszystkim zupełnie inny poziom złożoności.
Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature (tłum. Michał Choptiany)
Odkrycie w 1861 r. pierwszego fraktala wywołało w środowisku matematycznym prawdziwy wstrząs.
Jeśli weźmiemy do ręki pióro i nabazgrzemy zygzak, efektem powinno być kilka ostrych kątów połączonych prostymi liniami. Chcąc pokazać, że inny wariant jest możliwy, niemiecki matematyk Karl Weierstrass zdefiniował funkcję, której wykres jest tak połamany, że składa się wyłącznie z kątów – ekstremalne matematyczne staccato.
Przy każdym kolejnym powiększeniu wszystko, co wydawało się linią, zmienia się w kaskadę niekończących się załamań, upakowanych coraz gęściej i gęściej. Figura Weierstrassa ma nieregularności w każdej skali – to pierwsza z kluczowych cech formy fraktalnej.
Funkcję Weierstrassa matematycy określili mianem „patologicznej”, gdyż kwestionowała wypróbowane narzędzia rachunkowe, które z mozołem wypracowano na przestrzeni kilku wieków. Funkcja przez długi czas była tylko nowinką, zapowiedzią formy nowego rodzaju i dopiero rozwój technik komputerowych otworzył przed matematykami nieskończone możliwości.
Samopodobieństwo
Zrozumiałem więc, że tworzę geometrię […] rzeczy, które geometrii nie mają.
Benoît Mandelbrot
Rozwój geometrii fraktalnej i jej przemianę w nową dziedzinę matematyki zawdzięczamy przede wszystkim urodzonemu w Polsce matematykowi Benoît Mandelbrotowi i jego głośnemu esejowi The Fraktal Geometry of Nature (Fraktalna geometria natury) z 1977 r.
W latach 60. Mandelbrot pracował dla IBM. Dzięki dostępowi do komputerów o ogromnej mocy obliczeniowej mógł po raz pierwszy zbadać dziwny nowy świat fraktali.
Prawdopodobnie najbardziej znanym dziś fraktalem jest zbiór Mandelbrota – nazwany tak na cześć swego odkrywcy. Nie da się go narysować idealnie, jednak można uzyskać przybliżony obraz, precyzyjnie kolorując każdy punkt na płaszczyźnie.
Aby wybrać odpowiedni kolor dla określonego punktu, stosujemy wiele powtórzeń prostego przesunięcia i patrzymy, ile czasu zajmie punktowi „ucieczka” z pewnego obszaru. Choć takich zbiorów nie da się narysować ręcznie, możemy je tworzyć i badać dzięki interaktywnym aplikacjom.
Te programy umożliwiają wytropienie charakterystycznej dla fraktali symetrii nowego typu. W żargonie matematycznym symetria to działanie, które – gdy zastosuje się je do pewnego kształtu – pozostawi go (mniej lub bardziej) niezmienionym.
Na przykład mówimy, że kwadrat charakteryzuje się symetrią obrotową, ponieważ nie da się powiedzieć, czy kwadrat nie został obrócony o 90°, kiedy nie patrzyliśmy.
Nieskończona złożoność fraktali nadaje im całkiem nowy rodzaj symetrii. To niewiarygodne, ale po powiększeniu małego obszaru okazuje się, że patrzymy na taki sam kształt, od jakiego zaczęliśmy. Drobne fragmenty fraktala mogą wyglądać tak samo jak całość.
Samopodobieństwo nie jest tylko ciekawostką matematyczną. Spotkamy je w całej przyrodzie. Trzeba jedynie wiedzieć, czego szukać.
Złożoność z prostoty
Z prostych reguł powtarzanych bez końca biorą się nieskończone cuda.
Benoît Mandelbrot
Kiedy Mandelbrot badał fraktale, powiększając ich fragmenty, brytyjski matematyk Michael Barnsley (obecnie profesor Australian National University) podszedł do tematu z innej perspektywy.
Mimo że geometria fraktalna jest nieskończenie złożona, trzecią cechą wyróżniającą fraktale jest skomplikowana struktura wynikająca z bardzo prostych reguł wyjściowych. Kształt fraktala można ująć w całości za pomocą listy przekształceń, które dokładnie opisują, w jaki sposób mniejsze kopie formują cały fraktal.
Wydana w 1988 r. książka Barnsleya Fractals Everywhere przedstawiła algorytm, znany jako gra w chaos, który pozwala komputerom na szybkie generowanie kształtów fraktalnych ze znanych przekształceń.
Można na przykład wybrać trzy punkty A, B i C oraz czwarty, zwany punktem gry, po czym stawiać kolejne w połowie odległości pomiędzy punktem ostatnio postawionym a jednym z trzech pierwszych (losujemy którym). Powtarzając tę czynność wiele razy, uzyskamy fraktal będący odmianą tzw. trójkąta Sierpińskiego z wierzchołkami w punktach A, B i C.
Co ważne, Barnsley znalazł sposób na wyznaczanie listy przekształceń dla dowolnego kształtu. Dzięki temu, że skomplikowane kształty można było teraz rekonstruować z prostych przekształceń, algorytmy Barnsleya okazały się kluczowe dla rozwoju kompresji obrazu – dlatego już w pierwszej edycji multimedialnej encyklopedii Microsoftu Encarta udało się upakować dziesiątki tysięcy obrazów na jednej płycie CD.
Wymiary fraktalne
Natura zadrwiła sobie z matematyków. XIX-wiecznym matematykom mogło brakować wyobraźni, ale natura miała jej pod dostatkiem.
F.J. Dyson, wypowiedź przytoczona przez Benoît Mandelbrota, The Fractal Nature of Geometry
Ostatnią i najbardziej uderzającą cechą fraktali jest to, że nie są jedno-, dwu- lub trójwymiarowe, lecz sytuują się gdzieś pomiędzy. Skoro naturze odpowiadają wymiary fraktalne, my też powinniśmy się do nich przyzwyczaić.
„Wymiar” ma wiele różnych (acz spójnych) matematycznych definicji. Intuicyjnie za wymiar jakiegoś kształtu uważamy jego chropowatość lub liczbę, która opisuje, jak dobrze kształt wypełnia przestrzeń.
Nasze intuicje da się przełożyć na precyzyjne formuły matematyczne. Żeby zrozumieć wymiar fraktalny, pomyślmy o kartce papieru, która jest (praktycznie) dwuwymiarowa. Gładka kula jest trójwymiarowa i zajmuje więcej przestrzeni niż kartka papieru.
A teraz zgniećmy papier w kulkę. Mamy teraz fraktalopodobny kształt zajmujący więcej miejsca niż kartka papieru, ale mniej miejsca niż gładka kula. Na skali wymiarów fraktalnych dostaje wynik około 2,5.
Podobnie w przypadku płuc, które mają wymiar mniej więcej 2,97 fraktala. Ich fraktalna geometria pozwala pomieścić dużą powierzchnię (kilka boisk tenisowych) w małej objętości (kilka piłeczek tenisowych). Upchnięcie tak dużej powierzchni w ciele pozwala nam zaczerpnąć ilość tlenu odpowiednią, żeby przeżyć.
Fraktale są wszędzie dokoła, począwszy od chmur i roślin, a skończywszy na strukturze wszechświata. Można je znaleźć także w ludzkim ciele, m.in. w mózgu. Są wszechobecne w naszym codziennym doświadczeniu. Matematyka fraktalna pozwala nie tylko na budowanie modeli świata przyrody – może też obudzić w nas dziecięce zadziwienie światem.
Pierwotnie tekst ukazał się na stronie theconversation.com. Tytuł został dodany przez redakcję „Przekroju”.
Czytaj również:
