Być może gra wpisana jest w DNA wszystkiego, co żyje: od człowieka po bakterię. W dodatku aby brać udział w rozgrywce, wcale nie trzeba o tym wiedzieć. 

24 listopada 2021 r. naprzeciwko siebie zasiedli Mag­nus Carlsen i Jan Niepomniaszczij, żeby stoczyć batalię o mistrzostwo świata w szachach, ostentacyjnie lekceważąc podstawową wadę tej gry: fakt, że jest ona czcza lub niesprawiedliwa. Oznacza to, że albo dla każdego z graczy istnieje taki sposób prowadzenia rozgrywki, który w dowolnych okolicznościach uchroni go przed przegraną, albo że jeden z nich dysponuje metodą zapewniającą mu zwycięstwo – nawet gdyby jego przeciwnikiem był sam Pan Bóg (oczywiście jeżeli nie stosowałby żadnych nadprzyrodzonych trików). No ale cóż z tego? Przecież mecz piłki nożnej też kończy się zwycięstwem jednej ze stron bądź remisem, a jednak nie słychać utyskiwań, że to dyscyplina niesprawiedliwa lub – co gorsza! – czcza. W końcu piękno gry polega na tym, że rezultat zależy od umiejętności, talentu zawodników, a czasem także szczęścia. Z połączenia tych trzech czynników bierze się spektakl, który elektryzuje widzów. Dzieje się tak w przypadku piłki nożnej, tenisa czy brydża. W szachach nie.

Nim zagramy

Niesprawiedliwość gry w szachy – jeśli w istocie jest to gra niesprawiedliwa – polegałaby na tym, że teoretycznie można opracować przepis na wygranie dowolnej partii i dać go nawet dziecku, o ile potrafi ono czytać notację szachową. Nawet gdyby naprzeciwko zasiadł Carlsen czy Niepomniaszczij i choćby nie wiem jak się wytężał, to przegra. Dziecko musi mieć przy tym możliwość wyboru grania białymi lub czarnymi, bo metoda taka – jeżeli istnieje – działa wyłącznie dla jednego z tych kolorów. Podejrzewa się, że dla białego. Jeśli natomiast szachy to czcza gra, można sporządzić przepis gwarantujący nieprzegranie żadnej partii zarówno dla białych, jak i czarnych figur.

Pojedynek o mistrzostwo świata składa się z czternastu partii, podczas których każdy z graczy siedem razy gra białymi i siedem razy czarnymi. Załóżmy, że obie strony znają metodę zapewniającą zwycięstwo. Jeśli szachy to gra czcza, wówczas rywale powinni zawsze zremisować. A jeśli to gra niesprawiedliwa, zawodnik dysponujący kolorem, dla którego owa recepta na sukces istnieje, powinien wygrać siedem partii. Wtedy również mecz zakończyłby się remisem. Jak to więc możliwe, że Magnus pokonał przeciwnika wynikiem siedem i pół do trzy i pół, remisując pierwszych pięć partii? Czyżby taki arcymistrz jak Niepomniaszczij nie wiedział, że istnieje metoda na wygranie? A może po prostu ją zapomniał?

Informacja

Z ostatniej chwili! To druga z Twoich pięciu treści dostępnych bezpłatnie w tym miesiącu. Słuchaj i czytaj bez ograniczeń – zapraszamy do prenumeraty cyfrowej!

Subskrybuj

Mówi się, że w teorii nie ma różnicy między teorią a praktyką. W praktyce jest. Że szachy są grą czczą albo niesprawiedliwą, to tylko (lub aż) twierdzenie udowodnione w 1912 r. przez niemieckiego matematyka Ernsta Zermela. Jest ono częścią względnie nowej (bo raptem nieco ponadstuletniej) gałęzi matematyki zwanej teorią gier.

Twierdzenia matematyczne wykonane są z najtwardszej substancji, jaką zna nauka. Ich podbudowę stanowi dowód, sekwencja zdań logicznych, a każde kolejne wynika z poprzednich. Stąd też – w odróżnieniu od biologów, socjologów, a nawet fizyków – matematycy, jeśli coś wiedzą, to na sto procent. Podczas gdy w naukach przyrodniczych, nie mówiąc już o socjologii, co jakiś czas słyszymy o nowych badaniach strącających z piedestału starą teorię, podobne przewroty nigdy nie zdarzają się w matematyce. Tu wszystko jest albo na pewno i na zawsze, albo tego nie ma.

Skoro więc istnieje metoda gwarantująca, że każdy pojedynek o mistrzostwo świata w szachach zakończy się remisem, to dlaczego Carlsen wygrał? Szkopuł w tym, że wprawdzie ta metoda istnieje – to wiemy w stu procentach – ale nikt jej nie zna. Gdy zostanie odkryta, gra w szachy przestanie mieć sens. W praktyce jednak ta metoda może okazać się tak skomplikowana, że nie starczy atomów we wszechświecie, aby zbudować nośnik pamięci zdolny ją zapisać.

Na szczęście nie wszystkie gry są tak zawiłe jak szachy. Kto chciałby zarobić kilka groszy, pokonując ciekawskich w bardzo prostej rozgrywce przy okazji jakiegoś jarmarku? Mowa o starej chińskiej grze nim należącej do rodziny gier niesprawiedliwych. Przed odważnym (lub naiwnym) ochotnikiem układamy np. cztery stosy żetonów – po kilka w każdym. Przeciwnik może zabrać z dowolnego stosu taką liczbę żetonów, jaką sobie życzy (ale wyłącznie z jednego stosu naraz). Następnie drugi gracz robi to samo. I tak na zmianę, aż na stole nie będzie już żetonów. Osoba, która pierwsza nie może wykonać ruchu (brak żetonów na stole), przegrywa. Liczba stosów nie jest ograniczona ani sprecyzowana, a przeciwnikowi można dać iluzję kontroli nad przebiegiem gry, pozwalając mu zdecydować, ile żetonów ma być w którym stosie i do kogo należy pierwszy ruch.

W przypadku nim prawdą jest nie tylko, że dla jednego z graczy istnieje metoda na wygranie bez względu na to, jak dobrze gra przeciwnik, lecz wiemy też, na czym ona polega. Strategia ta została odkryta przez matematyka Charlesa Bou­tona w 1902 r. Jest dostatecznie prosta, by biegł­­a w obliczeniach osoba mogła ją zastosować w praktyce, ale także na tyle skomplikowana, by laik nie zdołał na poczekaniu odkryć jej tajników.

To, który z grających może z niej skorzystać, zależy od rozkładu żetonów. Jeś­li ich liczbę w każdym stosie zapiszemy jako sumę różnych potęg dwójki (np. dwanaście to osiem plus cztery, czyli innymi słowy dwa do sześcianu plus dwa do kwadratu), to należy sprawdzić, czy któraś z tych potęg występuje w stosach nieparzystą liczbę razy. Jeśli tak jest (np. w trzech różnych stosach pojawia się ósemka), możemy otwierać szampana, bo oznacza to, że właśnie nam trafił się szczęś­liwy rozkład. Przepis Boutona mówi, że aby wygrać, w kolejnym ruchu powinniśmy zabrać tyle żetonów, by po jego wykonaniu każda z potęg dwójki występowała parzystą liczbę razy. Matematyczne twierdzenia czuwają nad niezawodnością tej metody. Otóż ruch prowadzący do parzystej konfiguracji potęg dwójki zawsze jest możliwy, a dla przeciwnika wręcz odwrotnie – każde posunięcie prowadzi do rozkładu, w którym jedna z potęg dwójki pojawi się znów nieparzystą liczbę razy. W efekcie przeciwnik nigdy nie będzie mógł wykonać ostatniego, zwycięskiego posunięcia, bo nie osiągnie stanu, kiedy każda z potęg dwójki występuje parzystą liczbę razy (a tak jest w przypadku zera), więc nie ma szans na zgarnięcie wszystkich żetonów. Dlatego przegra.

Potencjalny problem pojawia się wtedy, gdy pozwalamy rywalowi na wybór począ­tkowej konfiguracji żetonów i rozpoczęcie gry, bo to on może znaleźć się w sytuacji, kiedy liczba potęg dwójki będzie nieparzysta i to on będzie wówczas miał strategię zapewniającą zwycięstwo. Ponieważ jednak przeciwnik jej nie zna, jest wielce możliwe, że popełni błąd (o który łatwo) i doprowadzi do rozkładu gwarantującego nam wygraną. Jeśli więc zna się metodę matematyczną, prawdopodobieństwo wygranej jest bardzo wysokie.

Dylemat więźnia

Teoria gier nie zajmuje się wyłącznie teoretyczną podbudową gier rekreacyjnych. Wręcz przeciwnie: swój rozwój zawdzięcza głównie zastosowaniu jej w ekonomii. Znamienne jest, że jeden z najsłynniejszych prekursorów teorii gier John Nash za swoje zasługi otrzymał Nagrodę Nobla właśnie z dziedziny ekonomii, nie zaś Medal Fieldsa, który uważany jest za odpowiednik Nobla w matematyce.

Naturalnie nie wszystkie ludzkie decyzje można poddać analizie ilościowej i na tej podstawie przewidywać przyszłość. Zdumiewające jest jednak, jak wiele z tych decyzji daje się modelować za pomocą stosunkowo prostych typów gier, w których odpowiednie działania przynoszą określone liczbowo nagrody lub kary. W najprostszej wersji suma nagród uzyskanych przez wszystkich graczy wynosi zero, tak jak w przypadku pokera (zysk zwycięzcy równa się stracie przeciwnika).

Okazuje się, że gdy poszczególni uczestnicy mają do wyboru wiele strategii, które wiążą się z określonymi nagrodami albo karami, zawsze istnieje taka konfiguracja tych strategii, że żadnemu z graczy nie opłaca się zmieniać taktyki. Zostaje wtedy osiągnięty tzw. punkt równowagi, a ten nie musi być korzystny dla wszystkich uczestników – w przypadku gry o sumie zerowej z pewnością nie będzie. Ciekawe jednak jest to, że w grze o sumie niezerowej ten punkt może być niekorzystny dla wszystkich graczy naraz. I to nawet wówczas, gdy możliwy jest inny układ, bardziej intratny dla każdego z grających.

Z pozoru trudno wyobrazić sobie sytuację, że tkwimy w punkcie, w którym wszyscy ponoszą stratę (lub nie maksymalizują zysku), a mimo to jakakolwiek próba wyrwania się z tego obłędu skutkuje jeszcze większymi stratami. Jednak jest to możliwe. Najsłynniejszy przykład takiej sytuacji to tzw. dylemat więźnia.

Pewnej parze przestępców udowodniono włamanie się do sklepu, za co grozi kara dwóch lat pozbawienia wolności. Nie udowodniono im jednak zrabowania sejfu, który zniknął z zaplecza. Gdyby jeden z oskarżonych wskazał miejsce jego ukrycia, można by odzyskać dużą sumę pieniędzy.

Prokurator decyduje się przesłuchać aresztowanych osobno i każdemu z nich proponuje układ: jeśli wskaże, gdzie znajduje się sejf, jego wyrok będzie zmniejszony do roku. Natomiast wspólnik – jeżeli nie pójdzie na współpracę – dostanie wyrok aż pięciu lat więzienia, gdyż pojawią się przesłanki do skazania go za większe przestępstwo.

Co jednak, gdy obaj przyznają się do kradzieży sejfu? Prokurator nie może każdemu z nich obniżyć wyroku, bo doprowadziłoby to do kuriozalnej sytuacji, w której przestępcy dostają niższe wyroki za większe przestępstwo, niż udowodniono im pierwotnie. Nie może też skazać obu na pięć lat więzienia, gdyż odebrałoby to im motywację do przyznania się. Ostatecznie prokurator decyduje, że jeśli obaj podejrzani się przyznają, odsiedzą po cztery lata. Jak postąpią oskarżeni?

Najbardziej opłaca im się zachować milczenie, lecz wiąże się to z ryzykiem, że partner ich wsypie i dostaną już nawet nie cztery lata odsiadki, ale pięć. I tu wkracza teoria gier, która w tym przypadku wskazuje jako punkt równowagi przyznanie się do winy, choć gra toczy się o dodatkowe cztery lata za kratami. Z badań empirycznych wynika, że w podobnych sytua­cjach uczestnicy gry najczęściej wybierają właśnie przyznanie się do winy, mimo że rozwiązanie takie bynajmniej nie jest optymalne. Najlepiej byłoby przecież, gdyby obaj nabrali wody w usta i otrzymali wyroki po dwa lata. Brak pewności, że tak samo postąpi wspólnik, sprawia jednak, iż milczenie okazuje się rozwiązaniem zbyt ryzykownym.

A gdyby ci sami przestępcy znaleźli się w takiej sytuacji ponownie? Po pierwszym wyroku wiedzieliby już, czy kolega ma skłonności do zdrady, czy pozostaje lojalny. Może za drugim razem okazałby się mądrzejszy? A jeśli dziesięciokrotnie znaleźliby się w tej sytuacji i obaj zawsze zachowywaliby milczenie, ale za jedenastym razem któryś by sypnął? Czy jest szansa na to, że za dwunastym powróci do współpracy? A co, jeśli ci dwaj to nie aresztanci na komendzie policji, tylko dwa szczepy bakterii żyjące w symbiozie opartej wyłącznie na „zaufaniu”? Skąd bakterie miałyby mieć świadomość uczestnictwa w grze i na jakiej podstawie miałyby podejmować decyzję w sprawie wyboru strategii? Bakterie oczywiście nie wiedzą, że w cokolwiek grają, jednak to nie ma znaczenia, bo nie trzeba być świadomym toczącej się rozgrywki, żeby grać.

Fundament wszechświata

Jednym z najbardziej fascynujących sukcesów teorii gier jest fakt, że znajduje ona zastosowanie nie tylko w przypadku konkretnych ludzkich zachowań czy sposobu działania korporacji, lecz także w odniesieniu do społeczności pozaludzkich. Ba, okazuje się, że opisuje ona z zaskakującą dokładnością zachowania zarówno zwierząt, jak i organizmów jednokomórkowych. Tak, wszyscy w coś grają! Prosty dylemat więźnia może odzwierciedlać funkcjonowanie całych ekosystemów. Bakterie jednego gatunku albo pozostają lojalne, dokładnie wypełniając swoje zadania zapisane w symbiotycznym kontrakcie, albo tego nie robią, czerpiąc korzyści z wkładu partnerskiego gatunku, gdy same pozostają bierne. W takiej sytuacji punkt równowagi zostałby osiągnięty w przypadku lenistwa obu stron. Nie byłby on jednak dla nikogo korzystny. Dlatego szczepy bakterii z natury skłonne do współpracy przetrwały, a współpraca w przyrodzie jest całkiem powszechna.

Lojalność partnera może przynieść niezwykłe i zaskakujące efekty. Według teorii endosymbiozy komórki eukariotyczne (mające jądro komórkowe z chromosomami), które stanowią podstawowy budulec wszystkich złożonych organizmów żywych, w tym człowieka, powstały wskutek symbiozy między bakteriami tlenowymi i beztlenowymi, wchłoniętymi wcześniej przez te pierwsze. Wynikałoby z tego, że jeden z najważniejszych kroków ewolucyjnych w historii życia na Ziemi zawdzięczamy mezoproterozoicznym igrzyskom sprzed 1,3 mld lat.

Od dwojga dzieci grających w kółko i krzyżyk, przez gambity Magnusa Carl­sena, po strategiczne pojedynki korporacji i ślepe rozgrywki szczepów bakterii – zdaje się, że cały ożywiony świat uczestniczy w bezustannych igrzyskach, których stawką bywają satysfakcja, fortuna albo przetrwanie. Zaskakująca uniwersalność teorii gier może nasunąć pytanie, dlaczego ta na wskroś ludzka rozrywka stanowi fundament tak wielu procesów, które ani z rozrywką, ani z człowiekiem niewiele mają wspólnego. Może więc fakt, że wszystkie istoty grają, da się wywieść z najbardziej fundamentalnych praw biologii lub nawet głębszych jeszcze praw fizyki? A może naukowy paradygmat jest błędny i to nie prawa fizyki stanowią fundament funkcjonowania wszechświata?

„To jest czułe miejsce, pięta achillesowa Fizyki aktualnego Uniwersum. Mikroświat przedstawia obecnie główny plac budowlanych robót dla Graczy. […] Dokonują rewizji, uruchamiają prawa już zastyg­łe. Dlatego dochowują milczenia, które jest »ciszą strategiczną«. Nie informują nikogo z »postronnych« ani o tym, co robią, ani nawet o tym, że Gra się toczy. Wiedza o istnieniu Gry stawia przecież całą Fizykę w zupełnie nowym świetle”. To fragment przemówienia profesora Alfreda Testy, jednego z laureatów Nagrody Nobla, przedstawiający mechanizm funkcjonowania wszechświata. Dla współczes­nej nauki brzmi on obrazoburczo. Wydaje się, że zachłanność teorii gier, a może raczej zachłanność jej twórców, nie ma granic i nawet takie naukowe autorytety jak Testa nie wahają się przyznawać swojej dziedzinie monopolu na opis rzeczywistości – nie tylko tej ożywionej, lecz także martwej. Według nich fizyka to warstwa wtórna, nadbudowa na bardziej fundamentalnej teorii gier.

Gdy jednak dociekliwy czytelnik spróbuje sprawdzić, kiedy dokładnie wygłoszone zostało to przemówienie, i odszukać profesora Testę wśród noblistów, nie znajdzie o nim wzmianki. Bo autor tych naukowych herezji istnieje wyłącznie jako postać fikcyjna na kartach opowiadania Stanisława Lema Nowa Kosmogonia. Lem lubił grać w takie gry. Podobnie jak Magnus Carlsen. W 2023 r. niespodziewanie zrezygnował on z udziału w mistrzostwach świata, które wygrywał nieprzerwanie od roku 2013. Norweg miał ponownie zmierzyć się z Janem Niepomniaszczijem. Szkoda, bo zapowiadał się emocjonujący pojedynek. Ale tak jak można grać, nie mając świadomości, że bierze się udział w rozgrywce, można też świadomie z niej zrezygnować, nie wtajemniczając nikogo w powody swojej decyzji. I wydaje się, że to również jest element gry.