Jedną z pierwszych rzeczy, jakich uczymy się w nowym języku, jest liczenie. Poruszamy się w świecie na wskroś numerycznym.

Od naszych kompetencji w tym zakresie zależą tak istotne kwestie jak zrozumienie upływu czasu czy skal przestrzennych oraz tak prozaiczne jak komunikacja w kontekstach ekonomicznych i handlowych. Liczenie ma też pewną rytmikę i przewidywalność – tak się przynajmniej wydaje nam, mieszkańcom tzw. globalnej Północy.

Odruchowo więc traktujemy naukę liczenia w nowym języku jako coś elementarnego: cóż może być skomplikowanego w niewinnym „raz, dwa, trzy”? Bardzo się więc zdziwiłem, gdy owa przewidywalność runęła w gruzy wraz z początkiem mojej przygody ze szwedzkim. Zaczyna się dość prosto: „raz, dwa, trzy” to swojsko brzmiące ett, två, tre (å czytamy jak polskie o). Następnie pora na liczebniki porządkowe – cóż mogłoby pójść nie tak? Mam w swoim CV znajomość już kilku europejskich języków; przejście od „dwa” do „drugi” zawsze było czymś naturalnie prostym. Francuski? Deux – deuxième. Niemiecki? Zwei – zweite. Greka? Δύο – δευτερόλεπτο (dýo – defterólepto). Szwedzki? Två – andra! Dla porządku trzeba wyjaśnić, że andra znaczy „inny”. W szwedzkim mamy więc rzeczy pierwsze i rzeczy… kolejne – inne, pewnie mniej istotne. Dodajmy, że potem wszystko wraca na tory względnej powtarzalności: „trzeci” to tredje. Ziarno nieufności zostało jednak zasiane. Jak się bowiem okazuje, liczenie to chyba najmniej intuicyjna czynność, jaką można by sobie wyobrazić…

Królik jak ptak

Podobne językowe ekstrawagancje znajdziemy w niemal każdym zakątku świata. Czasami mają one niezwykle solidne podstawy wynikające z samej materii liczb i tego, jak (matematycznie) reprezentujemy ich abstrakcyjność w naszych głowach. Nierzadko zaś są pamiątkami po dawnych czasach, kiedy sama „ilościowość” nie miała aż takiego znaczenia jak to, co liczymy.

Informacja

Z ostatniej chwili! To trzecia z Twoich pięciu treści dostępnych bezpłatnie w tym miesiącu. Słuchaj i czytaj bez ograniczeń – zapraszamy do prenumeraty cyfrowej!

Subskrybuj

Gdy pewnego razu podróżowałem autobusem po japońskiej Hiroszimie, chcąc nie chcąc zderzyłem się z taką historyczną spuścizną języka. Po japońsku „dwa” to 二 (ni). Kiedy wysiadałem wraz z moim współtowarzyszem, musiałem zapłacić za przejazd, wrzucając do automatu odpowiednią liczbę monet. Sumiennie odszukałem więc w myślach owo króciutkie, łatwe słowo i z uśmiechem powiedziałem: Ni!. Kierowca spojrzał na mnie z mieszaniną fascynacji i niezrozumienia, najwyraźniej próbując pojąć sens rzuconego – ot tak, nonszalancko – liczebnika.

Na szczęście wysokość opłaty się zgadzała, zatem już bez ociągania się wysiedliś­my, a ja zacząłem gorączkowo wertować podręczny słownik japońskiego. Szybko odkryłem mój błąd, a wraz z nim szalony, eklektyczny wszechświat japońskich liczb. Okazuje się, że nasze europejskie podejście do liczenia, traktujące liczebniki jako twory na tyle abstrakcyjne, że można rzucać je solo czy łączyć z dowolnym rzeczownikiem, nie jest bynajmniej uniwersalne. Japońskie liczebniki główne (ichi, ni, san…) mają tylko jedno znaczenie: są to właśnie „czyste” liczby. „Dwoje ludzi” natomiast to już sprawa zgoła inna. Liczy się ich również inaczej, podobnie jak w japońskim odmiennie liczy się małe zwierzęta futerkowe, krewetki i raki, obiekty długie i wąskie, przedmioty płaskie i rozłożyste, książki, czarki do herbaty matcha, maty tatami. Lista jest długa i zawiera kilkadziesiąt kategorii. Każda ma swój włas­ny „klasyfikator”. Dla ludzi jest nim hito: 人 – dwoje ludzi zapisałbym więc jako 二人 (futari). Dwa psy to 二匹の犬 (z licznikiem 匹 – hiki – stosowanym do małych zwierząt futerkowych). Czasami zmiana formy danego przedmiotu zmusza nas do zastosowania innego sposobu jego liczenia: „chleb” パン (pan) może być jednym bochenkiem (一斤 ikkin) lub jedną kromką (一枚 ichimai).

Szybki przegląd listy liczników ujawnia coś niezwykłego. Znajduje się na niej osobny znak pozwalający liczyć króliki (羽 wa), który służy też do liczenia ptaków. Króliki oczywiście mają niewiele wspólnego z ptakami, jest to więc zestawienie dość nieintuicyjne. Historycy podejrzewają, że źródłem tej drobnej niekon­sekwencji było zarządzenie, które w okresie Edo zabraniało ponoć wszystkim – poza cesarzem – zjadania czworonożnych małych zwierząt. Króliki nie mogły zatem być źródłem pożywienia dla pospólstwa. Aby obejść zakaz, ludzie zaczęli liczyć je i raportować, używając „ptasiego” licznika 羽 – pasował on o tyle, że mięso królika w zasadzie bardzo przypominało to kurczaka oraz innych opierzonych zwierząt. Praktyka utrwaliła się w języku i króliki do dziś liczy się w Japonii jak ptaki, a nie małe ssaki.

Zależna od kontekstu zmienność sposobów liczenia nie jest niczym wyjątkowym. W Europie wystarczy pojechać na Islandię, by zderzyć się z całą menażerią liczebników utworzonych na potrzeby kontekstów, w których są używane. W islandzkim „dwa” to tveir i spokojnie możemy tym słowem policzyć ludzi, ale już „dwie owce” określimy słowem tvær. Dwulatek będzie w wieku odliczanym za pomocą tveggja, zupełnie jakby opowiadanie o dwóch latach wymagało dłuższego, bardziej przemyślanego słowa. Z kolei poinformowanie kogoś o godzinie drugiej wręcz przeciwnie – jest lakoniczne i treściwe: tvö. Wreszcie, pytając w Reykjavíku o autobus linii nr 2, nie mówmy tveir – ta dwójka także jest specjalna: druga linia to tvistur.

Palce i paliczki

Sprawa komplikuje się, kiedy do akcji wkracza tzw. system liczbowy. Wyrażanie określonych liczb w danym języku to jedno, ich matematyczna reprezentacja to drugie. W naszych tzw. zachodnich kulturach czymś absolutnie oczywistym jest wykorzystanie do zapisu liczb systemu dziesiętnego (decymalnego). W dużym uproszczeniu sprowadza się on do policzenia, ile kolejnych potęg liczby 10 mieści się w liczbie, którą chcemy zapisać. Weźmy 473: zawiera ona cztery setki (czyli drugie potęgi liczby 10) – do piątej brakuje 27; dalej mamy siedem dziesiątek (pierwszych potęg liczby 10); na koniec – trzy jednostki (formalnie zerowe potęgi dziesiątki – 100 = 1). Każdą liczbę możemy w ten sposób rozpisać na kolejne wielokrotności dziesiątki. Mocna pozycja systemu dziesiętnego wynika najpewniej z posiadania przez nas dziesięciu palców u rąk, naturalne więc wydawać się może przyjęcie akurat takiej podstawy do liczenia. Tyle że to wcale nie jest podstawa jedynie słuszna!

Liczba 10 dzieli się tylko przez 2 i 5 (oraz, oczywiście, przez 1 i samą siebie), co znacznie ogranicza pulę sposobów równego podziału dziesięciu jednostek czegoś. Znacznie lepszą podstawą byłaby liczba 12 – podzielimy ją przez 2, 3, 4 i 6. Z łatwością też policzymy w takim systemie na palcach – pomijając kciuki, każdy z pozostałych czterech palców dłoni ma po trzy paliczki, co daje w sumie właśnie 12. Choć tego typu rachowanie wydaje się dość egzotyczne (w języku stosującym ten system musiałyby istnieć osobne słowa na 12 podstawowych jednostek liczności), ślady jego zastosowania do dziś funkcjonują w wielu europejskich krajach. To właśnie z systemu dwunastkowego (duodecymalnego) wywodzą się okreś­lenia: tuzin (ang. dozen – 12 sztuk), gros (ang. gross – 144 sztuki = 122) oraz wielki gros (ang. great gross – 1728 sztuk = 123).

Zdecydowanie najbardziej rozbudowany był system liczbowy starożytnych Sumerów nazwany sześćdziesiątkowym (seksagesymalnym). Opierał się on na liczbie 60, a jego niewątpliwą zaletą była liczba jej dzielników: ma ich ona aż 12 (poza nią samą i jedynką są to: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30), co pozwala niezwykle wygodnie zapisywać ułamki. Do dziś korzystamy z dobrodziejstw babilońskiego sposobu liczenia; czas czy miary kątowe wyrażamy w jednostkach złożonych z 60 mniejszych wielkości (godzina = 60 minut, minuta = 60 sekund, 1 stopień = 60 minut kątowych). Możemy dzięki temu niezwykle kompaktowo zapisywać np. godziny odjazdu pociągów w rozkładach jazdy (w systemie sześćdziesiątkowym oczywistością jest „godzina siódma i jedna trzecia” – czyli 7.20; w układzie decymalnym musielibyś­my napisać 7.3333…).

Spośród wszystkich systemów liczenia innych niż nasz swojski dziesiętny zdecydowanie najbardziej wpływowym i wciąż wykorzystywanym w wielu kulturach jest system dwudziestkowy (wigesymalny). Jego użycie nie okazuje się tak nieintuicyjne, jak moglibyśmy podejrzewać – przecież w sumie u dłoni i stóp mamy 20 palców. Baza dwudziestkowa wydaje się więc bardzo naturalna. W takim systemie liczyli m.in. Majowie, ale jego ślady są doskonale widoczne także w kilku europejskich językach. Po francusku liczenie do 60 odbywa się w dość przewidywalny sposób. Siedemdziesiątki przyjmują formę jakby pośrednią – są określane jako 60 + coś (np. 73 to soixante-treize, czyli 60 + 13). Dwudziestkowość ujawnia się po dotarciu do liczby 80 – ta w języku Balzaka to cztery dwudziestki: quatre-vingts. Kolejne tworzone są analogicznie: 4 × 20 + 1, …, 4 × 20 + 11 itd. Siła tego wzorca ewidentnie słabnie – francuski, jakim mówi się w Belgii, ma osobne słowo na 90 (nonante, a więc nie 4 × 20 + 10) oraz na 70 (septante, a nie 60 + 10).

Dwudziestkowy sposób liczenia spot­kamy w wielu niezwiązanych ze sobą miejscach. Poza krajami frankofońskimi robią tak np. Duńczycy (ku przerażeniu swoich sąsiadów Szwedów, którzy stosują się do dziesiętnego systemu liczbowego). Duńskie liczebniki powyżej 40 są wyjątkowo nieprzyjazne: o ile „trzy” to tre, a „trzydzieści” – tredive, „sześćdziesiąt” wyraża się jako tres (skrót od tresindstyve, co dosłownie oznacza „trzy dwudziestki”). Niestety, Duńczycy w swoich rachunkach wykorzystują też połówki: „pięćdziesiąt” to dosłownie „trzy-bez-połówki-razy-dwadzieścia” (2,5 × 20): halvtreds; „siedemdziesiąt” – 3,5 × 20, czyli halvfjerds. Przy okazji oczywisty chyba wyda się fakt, że godzina wyrażona jako halv tre to bynajmniej nie „trzecia trzydzieści”, ale „druga trzydzieści” („trzecia bez połówki”). Z systemem dwudziestkowym spot­kamy się także w Walii. Tu rdzeniem każdej liczby powyżej 10 jest dziesiątka, piętnastka lub dwudziestka. W ten sposób mamy więc pedwar ar degg (14 lub „cztery-z-dziesiątką”), deg ar hugain (30 lub „dziesięć-z-dwudziestką”), deugain ac un (41 lub „dwie-dwudziestki-z-jedynką”) i tak dalej (nie mogło tu, rzecz jasna, zabraknąć wprowadzającego chaos akcentu – „osiemnaście” to bowiem deunaw: „dwie dziewiątki”).

Językowe potworki

Po spotkaniu z opisanymi wyżej językowymi specjałami możemy mieć wrażenie, że już niewiele jest nas w stanie zaskoczyć w temacie kulturowych wariacji na temat liczenia. Nic bardziej mylnego! W pobliżu czają się prawdziwe potworki na niezwyk­łą próbę wystawiające cierpliwość każdego, kto próbuje nauczyć się ich reguł. Finowie np. nie mówią „osiem” i „dziewięć”, tylko „[dziesięć] bez dwóch/jednego” ­(kahdeksan = 8 – dosłownie „bez dwóch”; ­yhdeksän = 9 – „bez jednego”). W fińskim utrwalił się również jeden z najdziwniejszych systemów zapisu liczb większych od dziesiątki, do dziś powszechnie stosowany w nazewnictwie liczb od 11 do 19. Reguła, jaką należy zastosować do dwucyfrowej liczby, jest następująca (prześledźmy ją na przykładzie 13): nazwij liczbę jednos­tek (tutaj – 3, czyli kolme); do liczby dziesiątek dodaj 1 (tutaj: 1 + 1) i zamień ją na liczebnik porządkowy (tutaj: „druga”, czyli toinen); zapisz ów liczebnik w przypadku partitivus („cząstkownik”), co da nam toista; wreszcie – połącz wszystko razem: powstaje kolmetoista.

Gdy tylko opuścimy znajome ramy kultur europejskich, zauważymy, że świat liczb zaczyna anektować coraz to dziwniejsze obszary. Mamy bowiem np. język hebrajski, w którym liczby zapisuje się tymi samymi znakami, co pierwsze litery alfabetu (alef znaczy więc „jeden”, bet – „dwa” itd.) W jednej chwili wyrażone literami słowa nabierają drugiego, numerycznego znaczenia, w którym żydowski mistycyzm doszukiwał się niezwykle doniosłych konsekwencji. Szybko też kolejne liczby jakby rozpływają się w swoim powiązaniu z precyzyjnymi określeniami ilości: 13. litera alfabetu mem oznacza także liczbę „czterdzieści”. Zarazem jednak mem jest związany z wodą i niepoliczalnymi falami – szybko więc zaczęto używać słowa „czterdzieści” na określenie dużej, trudnej do opisania liczby (40 dni oznaczało np. dość długi – pewnie znacznie dłuższy niż literalne 40 dni – okres).

Wyprawiając się dalej, ku egzotycznym kulturom Azji, możemy całkowicie utracić jakąkolwiek matematyczną intuicję. Napotkamy np. telefol, język używany w prowincji Sandaun i Prowincji Zachodniej w Papui-Nowej Gwinei. Jego system liczbowy formalnie nazwalibyśmy septawigesymalnym („dwudziestosiódemkowym”). Skąd tak nietypowa podstawa liczenia? Okazuje się, że tamtejsi Papuasi rachują, wykorzystując 27 elementów ludzkiego organizmu (nie ograniczają się przy tym wyłącznie do dłoni czy stóp). Każda z kardynalnych liczb ma więc u nich nazwę odpowiadającą konkretnej części ciała. Czy liczby większe od 27 są formalnie zapisywane jako kombinacje kolejnych potęg 27, nie za bardzo wiadomo. Byłby to na pewno niezwykle trudny sposób liczenia – podstawa takiego systemu ma bowiem niewiele dzielników.

Czasami sama idea liczenia nie jest do niczego potrzebna, szczególnie w kulturach, w których praktyka dzielenia czy wymiany zasobów opierająca się na sformalizowanych systemach jednos­tek nie istnieje. W amazońskiej dżung­li żyje wciąż słabo poznany lud Pirahã. Jego członkowie posługują się językiem zupełnie pozbawionym liczebników czy jakichkolwiek innych słów pozwalających na zliczanie obiektów bądź zasobów. Wszystko, co ich otacza, określają jako „duże” lub „małe” – i dotyczy to również liczności (pojedyncze zwierzęta zalicza się do kategorii „małe”, ich stada zaś są „duże”). Pirahã oportunistycznie dzielą się swoimi zasobami z sąsiadami według ciekawego systemu pozwalającego każdemu najeść się do syta (lub też najeść się tak jak wszyscy inni dookoła). Łatwo się domyślić, że taka organizacja społeczna eliminuje wiele zastosowań liczebników, a określenia „duży/mały” w zupełności wystarczają do zakomunikowania, czy polując, podąża się za jednym zwierzęciem, czy może za całym stadem.

Naukowy kompromis

Opowieść o najdziwniejszych sposobach liczenia można by snuć w zasadzie bez końca, w każdej historii znajdując coś niezwykłego, co ludzkie podejście do liczb wiąże z historią i doświadczeniami danego miejsca, kultury, ludu. Warto jednak pamiętać, że człowiek od setek lat podąża także inną ścieżką, w pewnym sensie równoległą do splątanych dróg ewolucji kulturowej. Jego przewodnikami są nowożytni kapłani – mędrcy nazywani dziś najczęściej naukowcami.

Czy nauka mogłaby sobie pozwolić na swobodne poruszanie się w labiryncie systemów liczbowych, operowanie najrozmaitszymi konwencjami zapisu liczb – dużych, dotykających skal kosmicznych, i małych, wyrażających wielkości atomów i cząstek elementarnych? Z całą pewnością nie, pociągałoby to za sobą koszty związane z permanentnym niedogadywaniem się czy popełnianiem obliczeniowych pomyłek spowalniających proces precyzyjnego eksplorowania otaczającego nas świata. Nic dziwnego, że już dawno badacze umówili się na bardzo sformalizowany i konkretny sposób nazywania liczb. Oparty jest on, oczywiście, na systemie dziesiętnym (choć omówione wyżej przypadki pokazują, że wcale nie tak daleko byliśmy od dominacji systemu dwudziestkowego czy dwunastkowego).

Podstawową motywacją rozwoju lingua scientifica było przede wszystkim uproszczenie zapisu niefunkcjonalnie dużych oraz mikroskopijnych liczb. Wybrane słowa tego dialektu są wszystkim doskonale znane. „Kilo” w kilometrach, „nano” w nanosekundach, „mili” w mililitrach to tylko niektóre elementy systematycznej hierarchii złożonej z serii przedrostków metrycznych określających kolejne wielokrotności (np. „kilo” to „tysiąc”, czyli 103) oraz podwielokrotności (jak „nano”, czyli jedna miliardowa lub 10¯9 – jeden i sto zer), oraz googolplexa – jedynki z „googolem” zer, co stanowi 0,000000000000000001% jednego googola (albo – w nomenklaturze przedrostków metrycznych – 10 zepto­googoli).

Czy znajomość takich kuriozów istotnie wzbogaca nasz język? Chyba nie zaryzykowałbym twierdzącej odpowiedzi na to pytanie. Z drugiej jednak strony w jakiś niezwykły sposób stanowią one świadectwo kulturowej historii czegoś – zdawać by się mogło – tak abstrakcyjnego i metafizycznego jak akt liczenia. Ja więc traktuję takie wycieczki w egzotyczne rewiry różnych sposobów mówienia o liczbach jak rodzaj archeologicznych wykopalisk. Tym łatwiejszych, że jedyną pomocą, jakiej do nich potrzebujemy, jest słownik – i być może zaprzyjaźniony towarzysz władający danym językiem, zdolny wyjaśnić nam, dlaczego w jego świecie nic nie działa tak, jak według nas powinno.