Oto kilka liter z alfabetu greckiego, łacińskiego i hebrajskiego, pod którymi kryją się wyjątkowi obywatele państwa liczb.

i czyli pierwiastek kwadratowy z minus 1

Liczba 1 podniesiona do kwadratu daje 1. Liczba –1 podniesiona do kwadratu też daje 1. A jaka liczba podniesiona do kwadratu da –1? Przez wiele lat uważano, że takiej liczby po prostu nie ma. Albo inaczej – że jest jedynie urojeniem. Stąd wymyślona jeszcze przez Kartezjusza nazwa: „liczba urojona”, po łacinie imaginarius, a w skrócie i.

Dziś można stwierdzić, że wprowadzając nazwę „urojona”, Kartezjusz trochę przesadził. Owszem, trudno sobie wyobrazić, że ktoś ma i kotów, psów lub włosów. A mieć jednego kota, psa lub jeden włos można. Jednak liczbę i, podobnie jak liczbę 1, da się zastosować do opisu rzeczywistości – choć w dziedzinach trochę bardziej skomplikowanych niż liczenie zwierząt domowych lub zrogowaciałych wytworów naskórka.

Gdybyśmy narysowali oś liczbową, taką zwykłą, z liczbami dodatnimi i ujemnymi, gdzie można by na niej zaznaczyć i? Otóż nigdzie. Liczba i byłaby obok osi, bo nie jest ani mała, ani duża, i nie sposób porównywać jej z liczbami rzeczywistymi. Ale co stoi na przeszkodzie, żeby dorysować drugą oś, z liczbami urojonymi, prostopadłą do tamtej? Powstanie układ współrzędnych, którego pozioma oś jest rzeczywista, a pionowa – urojona. W takim układzie można zaznaczać liczby zespolone, które są sumami składnika rzeczywistego i urojonego. Na przykład 3 + 2i będzie trochę na prawo i nieco do góry od początku układu.

Informacja

Z ostatniej chwili! To pierwsza z Twoich pięciu treści dostępnych bezpłatnie w tym miesiącu. Słuchaj i czytaj bez ograniczeń – zapraszamy do prenumeraty cyfrowej!

Subskrybuj

Okazuje się, że taki układ współrzędnych może bardzo ułatwić obliczenia potrzebne do obracania wektorów albo figur geometrycznych. Aby obrócić wektor o 180 stopni, mnożymy go przez –1. To umiemy nawet bez liczb urojonych. Jednak liczby urojone pozwalają nam łatwo obrócić wektor również o 90 stopni. Mnożymy go wówczas przez i. Jeśli pomnożymy go przez i jeszcze raz – dostaniemy obrót o 180 stopni, bo i razy i (czyli i do kwadratu) daje –1.

Niemal równie łatwe w urojonorzeczywistym układzie współrzędnych jest obracanie wektorów i figur o inne kąty. Dzięki tej właściwości liczby urojone znajdują dziś zastosowanie w wielu dziedzinach, szczególnie takich, w których mamy do czynienia z sinusoidalnymi falami. Przydają się np. do tworzenia oprogramowania do obróbki dźwięku. Warto o tym pomyśleć, słuchając radia.

Liczba i może też być wdzięczną poetycką metaforą – jak w wierszu Vijaya Seshadriego Liczba urojona:

Góra, która przetrwa śmierć wszechświata,
nie jest ani duża, ani mała.
Duży i mały to

pojęcia względne, a czy górę,
która przetrwa śmierć wszechświata,

można z czymś

porównać?

Umysł obserwuje, zachowując dystans.
Dusza gramoli się przez osypiska.
Dusza,

jak pierwiastek kwadratowy z minus jednego,
jest niemożliwością, która ma swoje

zastosowania.

(Tłumaczył Marcin Orliński)

φ czyli złota liczba (oraz złota proporcja)

Złota liczba oraz złota proporcja nie zawsze były złote. W IV w. p.n.e. ojciec geometrii Euklides opisał sprytny sposób podziału odcinka w ten sposób, by krótsza część miała się do dłuższej tak, jak dłuższa do całości. W dość siermiężnych słowach nazwał to stosunkiem „skrajnych do środkowej”. O złocie nic nie pisał. Może nie wiedział jeszcze, jak niezwykła jest to proporcja (i związana z nią liczba)? A może wiedział, ale nie chciał pochwalnymi epitetami zaburzać chłodnego tonu swojego dzieła, czyli Elementów.

Tym, co Euklides wiedział na pewno, był fakt, że złoty podział występuje w pięciokącie foremnym i w pentagramie. Według tej właśnie proporcji dzielą się na odcinki ramiona pentagramu i przekątne pięciokąta foremnego.

Złota liczba jest niewymierna, ale możemy podać jej wartość w przybliżeniu: 1,6180339887. Dokładnie zaś wynosi tyle, co pierwiastek kwadratowy z pięciu po zwiększeniu o jeden i podzieleniu przez dwa. Jeżeli mamy trzy odcinki pozostające ze sobą w złotej proporcji, a długość średniego z nich wynosi 1, to najdłuższy będzie miał mniej więcej 1,6180339887, a najkrótszy – w przybliżeniu 0,6180339887.

Około 1500 lat po Euklidesie Leonardo Fibonacci z Pizy napisał księgę Liber abaci. Przedstawił w niej Europejczykom cyfry arabskie wraz ze wszystkimi zaletami pozycyjnego systemu dziesiętnego. W tym samym dziele opisał też dzieje pewnego hipotetycznego króliczego rodu.

Na początku tej historii mamy parę młodych królików. Po miesiącu króliki dorastają i zaczynają się rozmnażać: ciąża trwa kolejny miesiąc, po którym przychodzi na świat para potomstwa. Mamy więc dwie pary zwierząt. Ta kolejna para też musi poczekać miesiąc, zanim osiągnie dojrzałość płciową. W tym czasie jej rodzice rodzą następną dwójkę potomstwa. I są już trzy pary. Miesiąc później będzie tych par pięć.

Zasady w tym matematyczno-króliczym świecie są takie: każda dorosła para rodzi co miesiąc dwoje kolejnych zwierząt. Każda narodzona dwójka musi poczekać miesiąc, zanim dorośnie i osiągnie zdolność rozrodczą. Wszystkie króliki żyją nieskończenie długo, nie tracąc przy tym reprodukcyjnego zapału.

Fibonacci obliczył, ile par liczyć będzie królicza rodzina w kolejnych miesiącach. Uzyskał następujący ciąg liczb: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… itd. Każda kolejna liczba w tym ciągu jest sumą dwóch poprzednich. Można zauważyć, że to trochę tak jak przy złotym podziale – dwa mniejsze odcinki składają się na trzeci większy. I jest to dobry trop – jeżeli zaczęlibyśmy dzielić przez siebie kolejne pary liczb z ciągu Fibonacciego, zbliżalibyśmy się do złotej liczby, otrzymując wynik na przemian za mały lub za duży: 1 : 1 = 1; 2 : 1 = 2; 3 : 2 = 1,5; 5 : 3 = 1,6666; 8 : 5 = 1,6; 13 : 8 = 1,625; 21 : 13 = 1,6153; 34 : 21 = 1,6190; 55 : 34 = 1,6176; 89 : 55 = 1,6181; 144 : 89 = 1,6179; 233 : 144 = 1,6181 i tak dalej, aż hen, hen daleko otrzymalibyśmy złotą liczbę. Musielibyśmy tylko liczyć w nieskończoność, tak jak króliki Fibonacciego potrafią w nieskończoność się rozmnażać.

Liczby Fibonacciego często występują w przyrodzie. Segmenty na skórce ananasa tworzą spirale, których jest – w zależności od sposobu liczenia – 13, 8 lub 5. Kwiaty mają często liczbę płatków równą którejś z liczb Fibonacciego. Astry – 21, nagietki – 13, stokrotki – 34, 55 lub 89, słoneczniki – 55, 89 lub 144. Ma to związek ze złotym kątem, który otrzymujemy, dzieląc pełen okrąg według złotej proporcji. Wynosi on około 137,7 stopnia. W kwiecie słonecznika nasiona układają się w spirale, które są względem siebie odchylone o wielokrotność złotego kąta. Tylko takie ułożenie zapewnia gęste wypełnienie kwiatu nasionami. Na końcu zaś każdej spirali znajduje się płatek. Zmiana kąta nawet o pół stopnia spowodowałaby bardzo wyraźne zaburzenie wzrostu.

W świecie roślin można też zauważyć obecność liczb ciągu Lucasa. Powstają one tak samo, jak liczby Fibonacciego, tyle że pierwszymi wyrazami są 1 i 3. Mamy więc po kolei: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47…

Trudno znaleźć jedną przyczynę tych geometrycznych i arytmetycznych zależności w świecie roślin. Jak pisze prof. Ian Stewart, mamy tu do czynienia „ze skomplikowanym układem sprzężeń zwrotnych pomiędzy biochemią, mechaniką i geometrią”.

e czyli idealne tempo wzrostu

Wyobraźmy sobie, że pewna dama chce wpłacić na konto swoje oszczędności. Jedzie więc do miasta i kieruje się na główną ulicę, gdzie w kamienicach, jeden przy drugim, mieszczą się oddziały banków. Plakaty na szybach zachęcają wizerunkami uśmiechniętych ludzi i opisami aktualnych promocji.

Ponieważ nasza dama ma w życiu szczęście, od razu trafia na atrakcyjną ofertę: lokata roczna o oprocentowaniu 100%. „Chyba śnię” – myśli. Już chce pchnąć przeszklone drzwi, gdy kilka kroków dalej zauważa inną promocję: lokata również roczna, tyle że odsetki naliczane są co pół roku, najpierw 50%, potem znowu 50%. „Oho, po pół roku będę miała 150% złożonej sumy, a kolejne odsetki zostaną naliczone od tej powiększonej kwoty, co razem da nie 200%, tylko 225%”.

Dama jest gotowa skorzystać z oferty, ale orientuje się, że następny bank proponuje jeszcze lepsze warunki: kapitalizację odsetek trzy razy do roku, za każdym razem powiększającą oszczędności o jedną trzecią. „Po roku – liczy szybciutko – będę miała mniej więcej 237%”. Cóż z tego, kiedy następny bank jest jeszcze bardziej szczodry: liczy odsetki co kwartał, za każdym razem powiększając kwotę o jedną czwartą. „To da około 244%” – szacuje dama.

Ponieważ osoba, której przygody tu opisujemy, ma niewiele czasu do powrotnego pociągu, wsiada w tramwaj i przez okno obserwuje kolejne oferty banków, które proponują coraz częstsze naliczanie odsetek. Realne różnice pomiędzy ofertami są jednak coraz mniejsze. Dziesiąty bank, dzielący rok na 10 części, wypłaca po roku około 259% złożonej kwoty. Setny – około 270%. Tysięczny – mniej więcej 271,6%. Milionowy – jakieś 271,8%.

Tramwaj jedzie coraz szybciej i szybciej, aż osiąga prędkość nieskończoną. Nagle hamuje (dama na szczęście trzyma się poręczy). Koniec trasy. Bohaterka wysiada i zmierza wprost do ostatniego banku, który zachęca: „Najlepsza oferta na rynku! Kapitalizacja odsetek nieskończenie częsta!”. „Doskonale – myśli dama. – Po roku otrzymam włożoną kwotę pomnożoną przez e”.

I w tym momencie się budzi (co się czasem zdarza po przejażdżce tramwajem z nieskończoną prędkością).

Nadmieńmy, że bankowi trudno byłoby wypłacić dokładnie kwotę pomnożoną przez e, ponieważ e jest liczbą niewymierną, podobnie jak fi lub pi. Ma nieskończoną liczbę cyfr po przecinku, które nie powtarzają się w jakichkolwiek okresach.

W przybliżeniu do trzynastej cyfry po przecinku wynosi 2,7182818284459.

Liczba e przydaje się do wszelkich wyliczeń w sytuacjach, w których tempo wzrostu zależy od tego, jak duża jest wartość, która rośnie. Może to być np. wzrost populacji jakichś zwierząt. Oczywiście w realnym świecie żadna populacja nie może rosnąć w nieskończoność, dlatego e jest tylko punktem wyjścia dla tego rodzaju wzorów, które uwzględniają również tzw. poziom nasycenia oznaczający moment, gdy swobodny wzrost zostaje zahamowany.

 0 < c czyli mała i duża nieskończoność

Nieskończoność nieskończoności nierówna. Jedna nieskończoność może być nieskończenie większa od drugiej. Nawet gdyby chciała być tylko skończenie większa, to nic by z tego nie wyszło – wcale nie byłaby większa, lecz taka sama. Bo w świecie nieskończoności nie można być skończenie większym. Jak się chce być większym, to trzeba być większym nieskończenie.

Najmniejsza z nieskończoności wynosi tyle, ile jest elementów w zbiorze liczb naturalnych. Nosi ona nazwę alef zero: od pierwszej litery alfabetu hebrajskiego (). Wszystkie zbiory, które zawierają tyle samo elementów co zbiór liczb naturalnych, mają liczebność alef zero.

Aby udowodnić, że elementów w dwóch zbiorach jest tyle samo, trzeba pokazać metodę, która uporządkuje elementy tych zbiorów w pary. Jak dzieci w przedszkolu.

Weźmy np. liczby parzyste. Choć pozornie jest ich dwa razy mniej niż naturalnych, łatwo udowodnić, że jest ich w istocie tyle samo. Wystarczy każdej liczbie naturalnej przyporządkować dwa razy większą liczbę parzystą.

Następnie przyjrzyjmy się liczbom wymiernym, czyli ułamkom o całkowitym liczniku i mianowniku. Choć wydaje się, że jest ich znacznie więcej niż liczb naturalnych, znów można znaleźć sposób, by ustawić je w ciąg, w którym każda liczba wymierna będzie miała swój naturalny numer. (Podpowiedź: nie będzie to ciąg rosnący).

Jest także większa nieskończoność niż alef zero. Jej nazwa to continuum, a oznacza się ją małą literą c, pisaną gotykiem. Wynosi tyle, ile jest elementów w zbiorze liczb rzeczywistych. Już sama nazwa podpowiada, jak możemy o continuum myśleć. Jeżeli wyobrazimy sobie oś liczbową, a na niej liczby wymierne, to liczby te nie wypełniają całej osi. Choć pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami można znaleźć kolejną, to i tak pojawią się między nimi dziury. Aby wypełnić całą oś, potrzebne jest continuum liczb. Continuum nie jest jednak największą nieskończonością, np. wszystkich podzbiorów w zbiorze liczb rzeczywistych jest więcej niż continuum. A podzbiorów w tym z kolei zbiorze jeszcze więcej – i tak w nieskończoność.

Na koniec jeszcze dodajmy, że twórca terminów alef zero i continuum, ojciec teorii mnogości Georg Cantor, nie uważał, że nieskończoność to twór abstrakcyjny, a rozważania na ten temat to beztroskie figle. Był człowiekiem bardzo religijnym i korespondował na temat swoich koncepcji z myślicielami chrześcijańskimi. Uważał, że Bóg, będący absolutną nieskończonością, wybrał właśnie jego, by ogłosił światu teorię mnogości.