W matematyce jak w finansach – bilans to rzecz święta. Kiedy więc ponad 100 lat temu polskim matematykom udało się zwiększyć aktywa bez ruszania pasywów, szybko wskazano winnego. Był nim podejrzany aksjomat, który pozwalał wybierać elementy ze zbiorów na chybił trafił. Wyglądało na to, że pozwalał też wyczarować królika z kapelusza. Dla wielu był to problem.
Chrystus wiedział, co robi. Kiedy pewnego popołudnia wysiadł z łodzi i nauczał, do przemówienia dorzucił coś jeszcze. Jak pisze św. Marek, wziął pięć chlebów oraz dwie ryby i nakarmił nimi tłum słuchaczy tak, że samymi resztkami napełniono 12 koszy. Wszystko to wyglądało na niezaplanowane, ale Jezus musiał przecież wiedzieć, że jeśli obraz wart jest tysiąca słów, to wartość cudu idzie w miliony. Żaden z ewangelistów nie zanotował, o czym mówił tego wieczoru Chrystus. Cud rozmnożenia przyćmił wszystko.
Gdyby Jezus działał wśród patrycjuszy, mógłby uciec się do innego zabiegu. Zamiast chleba, którego ci mieli pod dostatkiem, mógłby rozmnożyć na przykład ulubioną księgę właściciela posesji. Poprosiłby o zwój pustego pergaminu i w mgnieniu oka przelał na niego tekst Iliady, a może nawet Sztukę kochania tego grzesznika Owidiusza. Gdyby chciał, mógłby to zrobić w kilku egzemplarzach, z łatwością przebijając rynkową cenę chleba i ryb.
Tyle że efekt tego drugiego cudu potrafi dziś osiągnąć każdy, kto ma dostęp do kserokopiarki. Codziennie nastolatki dokonują rozmnożenia obrazów, umieszczając w mediach społecznościowych swoje zdjęcie, które następnie pojawia się na ekranach telefonów znajomych i nie tylko. Mało kto się z tego powodu nawraca.
A jednak biblijne rozmnożenie chleba to cud z zupełnie innej półki. Podczas gdy w powielaniu tekstu czy obrazu chodzi o pomnażanie informacji, tam na pustyni doszło do pomnożenia substancji. Możliwość tworzenia cyfrowych albo papierowych odbitek jest konsekwencją rozwoju technologii opartej na naukowych podstawach. Dla rozmnożenia chleba nikt nigdy naukowego wytłumaczenia nie znalazł. Chrystus wiedział, co robi, biorąc się za pieczywo, a nie literaturę.
A może takie wyjaśnienie istnieje, tylko po prostu nie szukano go dostatecznie głęboko? Z punktu widzenia fizyki sprawa jest prosta. Pomnożenie substancji łamie zasadę zachowania masy i energii, a więc jest wykluczone. Kropka. Jeśli jednak podłubać dobrze w twardych jak skała prawach fizyki, to się człowiek dokopie do matematyki. A tu ten granit robi się niepokojąco miałki.
Matematyka to nie magia
Czy kulę o objętości jednego metra sześciennego można pociąć na kawałki, z których będzie się dało złożyć dwie kule, każda o objętości jednego metra? Nie chodzi o to oczywiście, żeby te nowe kule miały jakieś braki, prześwity czy wolne przestrzenie. Mają być tak samo lite jak ta oryginalna. Dość łatwo podać argument przeciwko tej tezie. Każdy z kawałków będzie miał określoną objętość, a ich suma to jeden metr sześcienny, więc materiału jest za mało, żeby zrobić coś, co będzie miało objętość dwa razy większą.
Takich praw zachowania jest w matematyce więcej. Na przykład: jadąc z punktu A do punktu B, nie da się tak podzielić trasy na odcinki, aby suma ich długości była mniejsza niż odległość między A i B. Co więcej, jeśli uprzemy się, żeby do trasy sugerowanej przez Google dodać jakiś przystanek C – żeby, powiedzmy, kupić chleb, bo z rozmnażaniem leżących w domu resztek słabo nam idzie – to suma odległości od A do C i od C do B będzie najprawdopodobniej większa niż odległość od A do B. Ta własność nosi miano nierówności trójkąta. Krótko mówiąc, powiększanie objętości przez krojenie czy skracanie drogi przez dodawanie przystanków jest niemożliwe. No chyba że w bajkach.
„Czarna klacz stanęła dęba, zarżała dziko […]. Obraz natychmiast zyskał na ostrości. Stał się portalem. Bramą, za którą widać było płaskowyż pełen wraków okrętów” (Andrzej Sapkowski, Pani Jeziora). No właśnie. Ciri, jedna z głównych bohaterek sagi o Wiedźminie, nie zawsze wybiera zakurzone leśne trakty dostępne dla zwykłych śmiertelników, czasem skraca sobie drogę, przeskakując do innych światów. Robiąc tak, pozornie łamie nierówność trójkąta, ale tylko pozornie. Nie ma sensu mówić o odległości pomiędzy miejscem w innym świecie a zamkiem Vilgefortza, do którego zmierza Ciri. Taka odległość jest niemierzalna, bo te światy nie istnieją w tej samej rzeczywistości. Czytelnik nie jest zaskoczony, że dało się w ten sposób skrócić podróż. Co najwyżej zazdrosny.
No cóż, w powieści Sapkowskiego zadziałała magia – w normalnym świecie skazani jesteśmy na cuda. Co ciekawe, dokonując słynnego rozmnożenia, Chrystus nie sprawił, że dodatkowe bochenki pojawiły się znikąd. Żeby uzyskać żądany efekt, połamał najpierw te, które miał. A na jakie kawałki? Czy ma to znaczenie, skoro suma ich objętości musiała równać się temu, co przed nim położyli uczniowie? Chyba że te kawałki były właśnie z innego świata, a ich objętość ‒ podobnie jak odległości między miejscami podróży Ciri ‒ była niemierzalna.
Niemierzalna? Zaraz, zaraz. Matematyka ma przecież za zadanie „świat mierzyć” – tak przynajmniej tłumaczył mędrzec pacholęciu, które nie wiedziało, na co mu „trójkąty, czworoboki, koła, parabole”. Zresztą miar oraz ich zasad zachowania uczymy się od lat szkolnych. Przykładowo: dwa identyczne trójkąty można pociąć tak, by razem utworzyły prostokąt, a więc korzystając z reguły, że wielkości kawałków się sumują, powierzchnia trójkąta to połowa powierzchni prostokąta i stąd znana każdemu uczniowi ½ we wzorze na pole trójkąta. Matematyka to nie magia. To buchalteria. Tu wszystko musi się zgadzać.
Przemytnicy
Ponad sto lat temu Stefan Banach i Alfred Tarski pokazali, że kulę można pokroić na kilka kawałków (wystarczy pięć), a następnie skleić z nich dwie kule, z których każda ma objętość równą oryginalnej. Voila! Kawałków tych nie trzeba już nawet dalej formować, ugniatać, wystarczy je tylko odpowiednio obrócić i wsunąć na swoje miejsce, a będą do siebie pasować jak puzzle.
Twierdzenie to nosi nazwę paradoksu Banacha-Tarskiego, choć jego dowód jest całkowicie zgodny z prawidłami matematyki. Jak to możliwe?
Gdy na straganie komponujemy włoszczyznę, wybierając ze skrzyń z marchwią, pietruszką i selerem po jednej sztuce, nie przychodzi nam do głowy, że ocieramy się o matematyczne herezje. Taka skrzynia to model zbioru – jednego z podstawowych pojęć w matematyce. Kiedy powstawała teoria mnogości, szybko zorientowano się, że uznanie każdej zbieraniny za zbiór prowadzi do sprzeczności. Nie istnieje chociażby tzw. zbiór uniwersalny, którego elementami byłyby wszystkie istniejące zbiory. Ustalono więc listę reguł, według których nowe zbiory można tworzyć z już istniejących.
Co do większości z nich nie było zastrzeżeń. Na przykład wszyscy zgadzają się, że z dwóch zbiorów można stworzyć ich sumę, to znaczy jeden większy zbiór, który zawiera elementy obu pierwotnych zbiorów. To tak jakby wziąć skrzynię z marchwią i drugą z pietruszką i zsypać oba rodzaje warzyw do jednego pojemnika. Czasem jednak w matematyce, mając daną pewną liczbę zbiorów, chcemy z każdego z nich wziąć po jednym elemencie i w ten sposób utworzyć nowy zbiór składający się z tych oto wybranych elementów – taką matematyczną włoszczyznę! Okazuje się, że gdy tych zbiorów jest nieskończenie wiele, to możliwość dokonania czegoś takiego nie zawsze wynika z przyjętego wykazu reguł. Chcąc z niej korzystać, musimy ją dodać do listy jako odrębną zasadę. To właśnie zaproponował w 1904 r. niemiecki matematyk Ernst Zermelo, nadając jej nazwę pewnika wyboru.
Co ciekawe, szkopuł nie tkwi w samej nieskończoności. Gdyby skrzyń z warzywami było nieskończenie wiele, a w każdej z nich leżałyby dwie sztuki, z których jedna to robaczywa, nie byłoby problemu. W takim przypadku, jak się okazuje, pewnik wyboru jest niepotrzebny. Można bowiem poprosić sprzedawcę o wybranie z każdej skrzyni po jednej nierobaczywej jarzynie. Kłopot pojawia się wtedy, gdy między warzywami w skrzyni nie ma dającej się jasno sprecyzować różnicy. Nie można wtedy dać sprzedawcy zwięzłej instrukcji, jak ma wybrać warzywa. Trzeba by pochylić się nad każdą skrzynią i wskazać wybraną pietruszkę, marchewkę i selera palcem – kłopotliwe, gdy skrzyń jest nieskończenie wiele. A to feler!
Z nieskończonej liczby par butów też można kupić po jednym, prosząc na przykład o same lewe. W przypadku skarpetek (zakładając, że ta na lewą stopę nie różni się niczym szczególnym od tej na prawą) potrzebny jest pewnik wyboru.
Dlaczego sprzedawca nie mógłby nam tych warzyw wybrać byle jak, na chybił trafił, bez instrukcji? W pewnym sensie taką możliwość daje właśnie aksjomat wyboru. Jeśli nie obchodzi nas, która to konkretnie ma być marchewka, to można zawiązać sobie oczy i wybrać ją losowo. Tylko że Banach i Tarski pokazali, iż taki z pozoru niewinny entliczek, pentliczek pozwala pokroić kulę na kilka części i złożyć z nich dwie o takich samych objętościach. A to już jest pożar w księgowości.
Te części były jednak piekielnie skomplikowane. Weźmy na przykład fragment osi liczbowej, który składałby się tylko z liczb wymiernych między 0 a 1. Czyli ⅓ lub 7/15 jest OK, ale pierwiastek z ⅓ już nie. A teraz wyobraźmy sobie trójwymiarową wersję czegoś takiego. Trudno to nawet nazwać kawałkiem. Liczba punktów w nim jest nieskończona (bo ułamków w rodzaju ½, ⅓, ¼ jest nieskończenie wiele), lecz nie zawiera on w sobie żadnych kulek ani grudek, bo każda kulka ma i punkty wymierne, i niewymierne. Narysować się tego nie da, wyobrazić ‒ trudno. Opisać? No cóż – to drobniejsze niż cukier puder, w który ktoś złośliwie dmuchnął, rzadsze niż mgiełka i lżejsze niż puch. Zabieranie się za to z kołami i parabolami, których wyuczyło się mickiewiczowskie pacholę, to jak badanie atomu za pomocą cepa.
Czy coś takiego w ogóle ma objętość? Mimo wszystko okazuje się, że tak. Rozwinięta w początkach XX w. teoria miary mówi, że objętość takiego puchu wynosi zero. Co więcej, teoria ta pozwala zmierzyć każdy, obojętnie jak zwariowany podzbiór kuli. To znaczy każdy, o ile do jego konstrukcji nie użyto pewnika wyboru. Bo korzystając z niego, Banach i Tarski byli w stanie tak powybierać punkty z kuli, że ułożyły się w kilka kawałków, które nie mają objętości. Nie chodzi o to, że kawałki te mają objętość zero, jak nasz puch, albo że nie potrafimy jej obliczyć. Chodzi raczej o to, że próba przypisania im jakiejkolwiek objętości prowadzi do sprzeczności. Zasada, że objętość całości równa się sumie objętości części składowych nie obowiązuje, jeśli te części objętości nie posiadają. W pewnym sensie polscy matematycy przemycili kulę do innego świata, gdzie mogli ją porąbać na niemierzalne części i poskładać z nich dwie bez łamania żadnych praw. Niby nie magia, a kręci się w głowie jak po przejściu przez jeden z portali u Sapkowskiego.
„Teraz pomknie po lodzie jak wicher. Nie dogonimy jej!” (Andrzej Sapkowski, Wieża jaskółki)
Pewnik wyboru miał trudne początki. Bo czyż można intuicję wyniesioną z targowiska rozszerzać na ezoteryczne zbiory nieskończone? Szczególnie że ‒ jak pokazali Banach i Tarski ‒ prowadzi on do rezultatów, które tej intuicji przeczą? Może wydawać się dziwne, że matematyka, w której każde pytanie powinno mieć jedną poprawną odpowiedź, w ogóle bywa wrażliwa na tego rodzaju spory. Sęk w tym, że wbrew obiegowym opiniom matematyka nie do końca taka jest. Pierwotna lista reguł teorii zbiorów (ta bez pewnika wyboru) jest powszechnie przyjmowana dlatego, że matematycy ‒ a więc omylne istoty ludzkie ‒ nie mają do nich zastrzeżeń, a nie dlatego, że są zapisane w gwiazdach.
W 1938 r. Kurt Gödel udowodnił, że dopóki ta pierwotna lista nie zawiera w sobie sprzeczności, to dodanie do niej pewnika wyboru nie sprawi, że taka sprzeczność się pojawi. Aksjomat wyboru może więc prowadzić do twierdzeń, które urągają intuicji, ale nie da się go użyć, by udowodnić, że 2+2 to 5. Dziwić może zastrzeżenie „o ile nie zawiera w sobie sprzeczności”, bo sugeruje, że i co do tego nie ma pewności. Bo nie ma. Aksjomatyka matematyki, a więc ta jej najgłębsza warstwa, na której wszystko ma stać, to śliski teren, jednak matematycy okazali się niezłymi łyżwiarzami. I jak pokazał Gödel, dodanie pewnika wyboru nie sprawia, że lód staje się bardziej łamliwy. Co najwyżej można po nim szybciej jeździć!
Fizycy zarzekają się, że konstrukcje Banacha-Tarskiego nie stosują się do materii. Tej nie można ciąć, jak się matematykom podoba – przykładowo nie da się przekroić protonu na pół. Na forach internetowych można znaleźć dyskusje, których uczestnicy zapewniają się nawzajem, że fizyka nigdy i nigdzie pewnika wyboru nie potrzebuje. Wszystkie matematyczne twierdzenia używane w fizyce da się bowiem osłabić i odpowiednio skomplikować dowody, tak by ominąć konieczność korzystania z niego. Na taki pomysł większość współczesnych matematyków wzruszy ramionami. Skoro można skrócić sobie drogę przez inne światy, to dlaczego Ciri ma jechać przez las?
A co z rozmnażaniem chleba? Gdyby składał się on z punktów, a nie z atomów, to kwestia w zasadzie sprowadzałaby się do tego, czy wierzymy w pewnik wyboru. Może zastanawiając się, jaki budulec wybrać na świat, Stwórca rozważał nadanie materii struktury ciągłej, punktowej, nieskończenie podzielnej. Szybko jednak przypomniał sobie o aksjomacie wyboru i doszedł do wniosku, że nie może zwykłych śmiertelników obdarzać taką mocą. Lepiej nie dawać dzieciom plasteliny, bo narobią bałaganu. Roztropniej było dać im protony i elektrony: duże, niełamliwe, bezpieczne jak klocki Duplo. Przynajmniej nie zrobią sobie krzywdy.
Roztropniej? Może. Ale gdy ludzie raz zobaczą lodowisko, to prędzej czy później spróbują jazdy figurowej. A z pewnikiem wyboru w zanadrzu ręka aż świerzbi, by pokusić się o cudotwórstwo, choćby w wyobraźni. Tyle że w dzisiejszych czasach chorób cywilizacyjnych nie brałbym się za chleb, bo to jednak węglowodany. Lepiej wybrać się na stragan, brawurowo poprosić o wybranie jednej papryki, jednego pęczka jarmużu, jednej głowy kapusty pekińskiej i nie przyznać się sprzedawcy, dlaczego robią się nam od tego wypieki na twarzy. Następnie wziąć do ręki ostry nóż à la Banach-Tarski i siec tak drobno, że zrobi się z tego niezła sałatka. A potem obrócić talerz i zrobić z niej dwie albo trzy. Albo milion. Niech wszyscy zobaczą, jak ślizgamy się po najgłębszych lochach matematyki, jak robimy piruety i potrójne aksle. Niech usłyszą zgrzyt łyżew o lód!
Czytaj również:
