Jej badacze zwykle dostrzegają piękno albo w całej dyscyplinie, albo w jej wyjątkowych przypadkach. Jedno z tych podejść jest zdecydowanie bardziej użyteczne, jeśli za pomocą obliczeń chce się opisać wszechświat.
Poprzez matematyczny świat poprowadzić można wiele linii podziału. Funkcjonuje przede wszystkim tradycyjne przeciwstawienie matematyki „czystej” i stosowanej, które odzwierciedla – znany także z innych dziedzin – podział na teorię i praktykę oraz jest wyrazem napięcia między uprawianiem „nauki dla nauki” a dążeniem do określonego celu. Próbuje się także dzielić matematykę w sposób podobny, w jaki opisujemy ludzki mózg, wyróżniając w nim „algebraiczną” lewą półkulę, w której myśli układają się w logiczne sekwencje, i „geometryczną” prawą półkulę, która preferuje podejście wizualne. Ale możemy również przyjąć subtelniejsze kryterium podziału, jakim jest czyjeś osobiste upodobanie do jednego z dwóch rodzajów matematycznego piękna.
Czar całki
Osobom spoza wąskiego grona ekspertów zazwyczaj trudno dostrzec piękno w matematyce. Mówi się, że piękno tkwi w oku patrzącego, jednak trudno je też dojrzeć, gdy dzieło sztuki skrywa się w ciemności, przysłonięte nieprzeniknioną chmurą symboli i hermetycznego żargonu. Próbę docenienia urody matematyki bez jednoczesnego zrozumienia jej wewnętrznych mechanizmów można porównać do sytuacji, w której czytamy opis V symfonii Beethovena, zamiast po prostu jej posłuchać.
Tymczasem matematycy bez skrupułów i z całkowitą powagą określają swoje równania oraz dowody mianem pięknych. To poczucie estetyki jest niezwykle uniwersalne, przekracza epoki i kręgi kulturowe. Babiloński matematyk czerpał zapewne porównywalną przyjemność z kontemplacji doskonałego układu linii w geometrii płaskiej czy rozwiązywania równania kwadratowego, co współczesny student.
Matematyczne piękno zaś może być dane w dwóch postaciach: typowej i wyjątkowej. Posunę się nawet do stwierdzenia, że sami matematycy występują w takich właśnie dwóch „smakach”, a przynajmniej grawitują w kierunku jednego z biegunów.
Postać pierwsza to piękno odzwierciedlane w formalnych strukturach i schematach. To poczucie zdumienia wobec nieubłaganego porządku, w jaki układa się matematyczny świat. Wystarczy tylko pomyśleć, jak doskonale liczby naturalne ustawiają się w nieskończonym rzędzie. Lub przyjrzeć się sekwencji przestrzeni euklidesowych o coraz większej liczbie wymiarów: prostej, płaszczyźnie, przestrzeni itd. Albo zwrócić uwagę na ścisłość i precyzję logiki formalnej. Wszystkie te struktury są niesamowicie potężne oraz użyteczne i – z określonej perspektywy – rzeczywiście mogą się jawić jako piękne.
Jednak osoby znajdujące się po drugiej stronie linii podziału – czyli jak się wydaje większość z nas, a z pewnością większość osób spoza kręgu matematyków – nie zawsze są w stanie wykrzesać z siebie entuzjazm dla koncepcji przestrzeni wektorowej w n wymiarach czy dla funkcji ciągłej w zbiorze liczb rzeczywistych. Aby dostrzec piękno tych idei, trzeba docenić pewną formę abstrakcji, a takie poczucie estetyki często wydaje się zimne i formalne, niczym piękno Królowej Śniegu, które najlepiej podziwiać z bezpiecznej odległości, nigdy zaś z bliska.
Ezoteryczny odmieniec
Druga postać matematycznego piękna wydaje się przystępniejsza. Wiąże się ona z wyjątkami od reguł. To osobliwości, istne unikaty, matematyczne inkarnacje fascynujących skamieniałości i dziwnych minerałów, które wypełniały gabinety historii naturalnej w XVII i XVIII w. To piękno wywołuje zupełnie inne wrażenia. Jest egzotyczne, oryginalne, intymne i – oczywiście – dość subiektywne.
Weźmy pod uwagę choćby dwunastościan foremny, ulubiony obiekt w wielu matematycznych gabinetach osobliwości. Ta regularna bryła, jedna z pięciu idealnie symetrycznych brył, składa się z 12 pięciokątów. Ktoś kiedyś powiedział mi, że urok dwunastościanu polega na tym, że jest to obiekt „skomplikowany, ale nie przesadnie”. Dwunastościan to symbol od dawna wykorzystywany w ezoteryce. Tradycja ta sięga czasów starożytnej Grecji, kiedy Platon zasugerował, że istnieje połączenie między wszechświatem fizycznym a pięcioma obiektami nazywanymi obecnie bryłami platońskimi (czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan foremny). Dwunastościan symbolizował wszystkie ciała niebieskie, gwiazdy oraz planety, z których każda jest doskonała w swoim kształcie i ruchu. Od tamtej pory bryła ta – kojarzona ze wszystkim, co pozaziemskie – stała się ulubionym symbolem alchemików i astrologów. Z perspektywy współczesnej matematyki dwunastościan nadal jest uznawany za wyjątkowy. To jeden z zaledwie garstki symetrycznych obiektów będących klasą same dla siebie, nie są jednym z wielu przypadków jakiegoś ogólniejszego wzorca. Przykładowo, bez trudu można uogólnić sześcian albo czworościan foremny do ich odpowiednika w dowolnych wymiarach, jednak wyżej wymiarowe odpowiedniki dwunastościanu nie istnieją.
Kolejny matematyczny odmieniec, obiekt pożądania każdego gabinetu osobliwości, jest znany jako grupa monstrum. To największy element składowy, z którego można zbudować wszystkie grupy symetrii, matematyczny potwór, którego da się zwizualizować na przestrzeni liczącej zaledwie 196 883 wymiary. W zależności od indywidualnych upodobań grupę monstrum uznaje się za najładniejszy bądź najbrzydszy obiekt matematyczny.
Reguły dla Boga
Oba rodzaje piękna od lat oczarowują matematyków, przyczyniając się także do licznych odkryć. Abstrakcja to bez wątpienia potężne narzędzie. Pozwala nam zająć się całą rodziną naraz czy też spojrzeć na problemy z szerszej perspektywy. Matematyk, którego pociągają spekulacje teoretyczne, często z niechęcią podchodzi do praktycznych zastosowań i konkretnych przypadków – jak w słynnej anegdocie o Alexandrze Grothendiecku, jednym z guru algebry abstrakcyjnej, który podał liczbę 57 jako przykład liczby pierwszej (nie jest to liczba pierwsza).
Fascynacja matematycznymi osobliwościami też może się okazać owocną strategią. Takie obiekty często funkcjonują na przecięciu wielu idei i mogą łączyć zupełnie różne światy. Zwolennicy tego rodzaju piękna nie zawracają sobie głowy „abstrakcyjnymi nonsensami” i cenią sobie specyfikę konkretnego przypadku do analizy, z całym dobrodziejstwem inwentarza.
Jednak prawdziwy świat zdecydowanie różni się od wyidealizowanego, matematycznego krajobrazu. Większość nauk należy do uniwersum, które zajmuje się opisywaniem realnego świata – a to zaledwie jedna z nieskończonych możliwości matematyki. Jean-Pierre Serre miał kiedyś powiedzieć w żartach do swojego kolegi po fachu, Raoula Botta: „Gdy inne nauki szukają reguł, które Bóg wybrał dla tego wszechświata, my, matematycy, szukamy reguł, których musi przestrzegać nawet Bóg”.
Cuchnące elipsy Keplera
Jeśli zadać naukowcom egzystencjalne pytanie o to, jakimi właściwie prawami rządzi się wszechświat, większość z nich w naturalny sposób ulegnie przystępniejszemu urokowi wyjątkowych obiektów z gabinetu osobliwości. Jednak nauka niejednokrotnie dowiodła, że w dłuższej perspektywie abstrakcyjny i surowy wymiar matematycznego piękna często stanowi bezpieczniejszy wybór.
Jednym z najsłynniejszych dowodów prawdziwości powyższego stwierdzenia jest obecność brył platońskich we wczesnych pracach Johannesa Keplera. Astronom zaproponował model Układu Słonecznego, w którym odległości między orbitami planet były oparte na konkretnym ułożeniu tych pięciu brył. Choć niezaprzeczalnie piękna, idea Keplera była z góry skazana na porażkę. Sam uczony odrzucił później swój model, po tym jak doszedł do wniosku, że orbity planet nie tworzą doskonałych okręgów, lecz brzydkie elipsy, które mogą występować w wielu różnych kształtach. To odkrycie wydało mu się zdecydowanym krokiem wstecz. Porównał je do „wozu z gnojem” pozostawionego w naukowej stajni Augiasza.
Podczas gdy upodobanie Keplera do obiektów wyjątkowych początkowo zwiodło go na manowce, Isaac Newton miał w przyszłości wyjaśnić eliptyczność orbit, opierając się na swojej uniwersalnej teorii grawitacji. I rzeczywiście wykazał on, że wszystkie ruchy ciał niebieskich przyjmują kształt różnych okręgów, elips, hiperboli i paraboli. Okazało się, że piękno leży w abstrakcyjnych prawach Newtona, a nie w konkretnych rozwiązaniach.
Zarówno fizycy, jak i ogólnie naukowcy wielokrotnie przekonywali się o prawdziwości tych wniosków. W XIX w. uczeni odrzucili przypadkowe kolekcje eksponatów w gabinetach osobliwości i zajęli się systematyczniejszymi badaniami świata. Zamiast gromadzić tylko najpiękniejsze motyle i ptaki, biolodzy zaczęli zbierać wszystkie okazy w danej grupie organizmów i sformułowali ogólną teorię ewolucji. Chemicy nie poprzestali na zachwycie nad błyskiem srebra i złota, lecz dokonali klasyfikacji wszystkich pierwiastków, co doprowadziło do rozpisania układu okresowego. Fizycy zaś ujawnili symetrie cząstek elementarnych ukrytych w atomach pierwiastków.
Za każdym razem naukowcy nabierali przeświadczenia, że piękno wszechświata skrywa się w abstrakcyjnych strukturach leżących u podstaw zjawisk fizycznych. Chociaż na pierwszy rzut oka struktury te mogą się wydawać niejasne i mało przystępne, szersze spojrzenie często pozwala dostrzec w nich więcej sensu. I, w istocie, więcej piękna.
Pierwotnie tekst ukazał się w Quanta Magazine, niezależnym portalu internetowym Fundacji Simonsa, której misją jest poszerzanie wiedzy o nauce poprzez omawianie badań i trendów w matematyce, fizyce oraz naukach przyrodniczych. Artykuł publikujemy za zgodą redakcji portalu. Tytuł i śródtytuły pochodzą od redakcji „Przekroju”.
Czytaj również:
